Mise à jour (2019-06-25): changer le titre de "Les modèles MA non inversables ont -ils du sens?" pour le distinguer de la question 333802 .

Lors de l'examen des modèles MA ( ), je suis tombé sur ces diapositives (Alonso et Garcia-Martos, 2012). Les auteurs affirment que, alors que tous les processus de MA sont stationnaires, si elles ne sont pas inversible vous avez$q$

" la situation paradoxale dans laquelle l'effet des observations passées augmente avec la distance. "

Cela peut être vu par la décomposition du processus MA (1): en où clairement traduit par une histoire ayant de plus en plus d'influence sur le présent. Deux choses à ce sujet me dérangent:

$$y_t = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1}$$ $$y_t = \epsilon_t -\sum_{i=1}^{t-1} \theta ^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0,$$ $|\theta|>1$

1. Il n'est pas difficile d'imaginer une situation où il y a un décalage unique dans les effets de quelque chose
2. Cette publication à validation croisée a une réponse qui prétend:

"L' inversibilité n'est pas vraiment un gros problème car presque n'importe quel modèle MA (q) non inversible gaussien peut être changé en un modèle MA (q) inversible représentant le même processus "

Est-il vrai que l'effet des observations passées augmente avec la distance? Si oui, cela rend-il les modèles impropres à décrire des phénomènes du monde réel?

Mise à jour (2019-11-09) J'ai trouvé cela dans le texte Analyse des séries temporelles et ses applications (Shumway et Stoffer, page 85) qui prend également en charge le cas qu'il n'a pas vraiment d'importance si un modèle MA n'est pas inversible, mais nous peut vouloir choisir la version non inversible du modèle pour plus de commodité.

Pas grand-chose - il est fortement stationnaire et s'approche du bruit blanc

Le non inversible $\text{MA}(1)$processus est parfaitement logique, et il ne présente aucun comportement particulièrement étrange. Prendre la version gaussienne du processus, pour tout vecteur$\mathbf{y} = (y_1,...,y_n)$ composé d'observations consécutives, nous avons $\mathbf{y} \sim \text{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$ avec covariance:

$$\mathbf{\Sigma} \equiv \frac{\sigma^2}{1+\theta^2} \begin{bmatrix} 1+\theta^2 & -\theta & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -\theta & 1+\theta^2 & -\theta & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \theta & 1+\theta^2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\theta^2 & -\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\theta & 1+\theta^2 & -\theta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta & 1+\theta^2 \\ \end{bmatrix}.$$

Comme vous pouvez le voir, il s'agit d'un processus fortement stationnaire, et les observations qui sont à plus d'un décalage sont indépendantes, même lorsque $|\theta|>1$. Cela n'est pas surprenant, étant donné que ces observations ne partagent aucune influence du processus sous-jacent de bruit blanc. Il ne semble pas y avoir de comportement dans lequel "les observations passées augmentent avec la distance", et l'équation que vous avez indiquée ne l'établit pas (voir ci-dessous pour plus de détails).

En fait, comme $|\theta| \rightarrow \infty$(qui est le cas le plus extrême du phénomène que vous envisagez), le modèle se réduit asymptotiquement à un processus trivial de bruit blanc. Cela n'est pas du tout surprenant, étant donné qu'un coefficient élevé sur le premier terme d'erreur décalé domine le coefficient unitaire sur le terme d'erreur simultané et déplace le modèle asymptotiquement vers la forme$y_t \rightarrow \theta \epsilon_{t-1}$, qui n'est qu'une version à l'échelle et décalée du processus de bruit blanc sous-jacent.

---

Une note sur votre équation: Dans l'équation de votre question, vous écrivez la valeur actuelle de la série chronologique observable sous la forme d'une somme géométriquement croissante des valeurs passées, plus les termes d'erreur résiduels. Ceci est affirmé pour montrer que "l'effet des observations passées augmente avec la distance". Cependant, l'équation implique un grand nombre de conditions d'annulation. Pour voir cela, développons les termes observables passés pour montrer l'annulation des termes:

$$\begin{equation} \begin{aligned} y_t &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i (\epsilon_{t-i} - \theta \epsilon_{t-i-1}) - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - ( \theta \epsilon_{t-1} - \theta^2 \epsilon_{t-2} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^2 \epsilon_{t-2} - \theta^3 \epsilon_{t-3} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - ( \theta^3 \epsilon_{t-3} - \theta^4 \epsilon_{t-4} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - \ \cdots \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^{t-1} \epsilon_1 - \theta^t \epsilon_0 ). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Nous pouvons voir à partir de cette expansion que la somme géométriquement croissante des valeurs passées de la série chronologique observable est là uniquement pour obtenir le terme d'erreur précédent:

$$\epsilon_{t-1} = \sum_{i=1}^{t-1} \theta^{i-1} y_{t-i} + \theta^{t-1} \epsilon_0.$$

Tout ce qui se passe ici, c'est que vous essayez d'exprimer le terme d'erreur précédent d'une manière maladroite. Le fait qu'une longue somme d'annulation de valeurs pondérées géométriquement de la série soit égale au terme d'erreur souhaité ne démontre pas que les observations passées ont "un effet" sur la valeur actuelle de la série chronologique. Cela signifie simplement que si vous voulez exprimer$\epsilon_{t-1}$ en terme de $\epsilon_0$ alors la seule façon de le faire est d'ajouter la somme géométriquement pondérée de la série observable.

Je ne pense pas que cela ait du sens de demander un exemple "du monde réel où ils [modèles MA non inversibles] se produisent". Tout ce que vous observez est$y_1,y_2,\dots,y_n$. Comme j'essaie d'expliquer dans le post auquel vous liez, la distribution conjointe de ces données peut presque toujours (sauf dans le cas où le polynôme MA a une ou plusieurs racines unitaires) être modélisée de manière identique à celle générée par un certain nombre de non-inversibles Modèles MA ou par un modèle MA inversible correspondant. Sur la base des seules données, il n'y a donc aucun moyen de savoir si le mécanisme sous-jacent "monde réel" correspond à celui d'un modèle non inversible ou inversible. Et les modèles ARIMA ne sont en aucun cas destinés à être des modèles mécanistes du processus de génération de données.

Donc, cela revient à restreindre l'espace des paramètres à celui des modèles inversibles pour rendre le modèle identifiable avec l'avantage supplémentaire d'avoir un modèle qui est facilement mis en AR$(\infty)$ forme.