Pourquoi nous soucions-nous si un processus d'AMM est inversible?

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J'ai du mal à comprendre pourquoi nous nous soucions si un processus de MA est inversible ou non.

Veuillez me corriger si je me trompe, mais je peux comprendre pourquoi nous nous soucions de savoir si un processus AR est causal, c'est-à-dire si nous pouvons le "réécrire", pour ainsi dire, comme la somme de certains paramètres et du bruit blanc - c'est-à-dire un processus de moyenne mobile. Si c'est le cas, nous pouvons facilement voir que le processus de RA est causal.

Cependant, j'ai du mal à comprendre pourquoi nous nous soucions de savoir si nous pouvons représenter un processus MA comme un processus AR en montrant qu'il est inversible. Je ne comprends pas vraiment pourquoi nous nous soucions.

Toute idée serait formidable.

— agra94
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L'inversibilité n'est pas vraiment un gros problème car presque n'importe quel modèle MA $(q)$ non inversible gaussien peut être changé en un modèle MA $(q)$ inversible représentant le même processus en changeant les valeurs des paramètres. Ceci est mentionné dans la plupart des manuels du modèle MA (1) mais c'est vrai de manière plus générale.

\begin{matrix} (1) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 2 B) w_{t}, \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$

w_{t}

$w_t$

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$

θ (B)

$\theta(B)$

\begin{matrix} (2) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 0.5 B) w_{t}^{'} \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$

w_{t}^{'}

$w_t'$

σ_{w}^{' 2} = 4 σ_{w}^{2}

$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$

$\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ $(\infty)$ $\pi_1,\pi_2,\dots$ $\theta(B)\pi_i=0$

$(q)$ $2^q$ $q$

Vous pouvez toujours déplacer les racines de l'intérieur vers l'extérieur du cercle unitaire avec un changement correspondant de la variance du bruit blanc en utilisant la technique ci-dessus, sauf dans les cas où le polynôme MA a une ou plusieurs racines exactement sur le cercle unitaire.

— Jarle Tufto
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Très intéressant!

— Richard Hardy

Oui, je ne sais pas pourquoi cela n'est pas indiqué plus clairement dans les manuels. Vous pouvez voir cette "astuce" utilisée par la fonction à l' maInvertintérieur de la arimafonction de R pour garantir que les estimations des paramètres correspondent à un modèle inversible.

— Jarle Tufto

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$X_t$

X_{t} = θ (B) Z_{t}

$X_t = \theta(B)Z_t$

ξ (B) X_{t} = Z_{t}

$\xi(B)X_t = Z_t$

ξ (B)

$\xi(B)$

En outre, à en juger par le titre dans la référence du premier lien, ces auteurs ont beaucoup plus à dire à ce sujet. Malheureusement, je ne trouve pas de copie de ce livre / papier sur Internet. Si quelqu'un peut le trouver, faites-le moi savoir.

— Taylor
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