Relation entre indépendance et corrélation de variables aléatoires uniformes

Ma question est assez simple: laissez $X$ et $Y$ être deux variables aléatoires uniformes non corrélées sur $[-1,1]$. Sont-ils indépendants?

J'avais l'impression que deux variables aléatoires non corrélées ne sont nécessairement nécessairement indépendantes que si leur distribution conjointe est normale. Cependant, je ne peux pas trouver un contre-exemple pour réfuter la revendication que je demande. Veuillez fournir un contre-exemple ou une preuve.

Indépendant implique non corrélé mais l'implication ne va pas dans l'autre sens.

La non corrélation n'implique l'indépendance que sous certaines conditions. Par exemple, si vous avez une normale bivariée , il est vrai que non corrélé implique indépendant (comme vous l'avez dit).

Il est facile de construire des distributions bivariées avec des marges uniformes où les variables ne sont pas corrélées mais ne sont pas indépendantes. Voici quelques exemples:

1. considérer une variable aléatoire supplémentaire $B$ qui prend les valeurs $\pm 1$ chacun avec probabilité $\frac12$, indépendant de $X$. Puis laissez$Y=BX$.

2. prendre la distribution bivariée de deux uniformes indépendants et la découper en 4 sections de taille égale sur chaque marge (donnant $4\times 4=16$ pièces, chacune de taille $\frac12\times\frac12$). Maintenant, prenez toutes les probabilités des 4 pièces d'angle et des 4 pièces centrales et mettez-la uniformément dans les 8 autres pièces.

3. Laisser $Y = 2|X|-1$.

Dans chaque cas, les variables ne sont pas corrélées mais ne sont pas indépendantes (par exemple, si $X=1$, quel est $P(-0.1<Y<0.1)\,$?)

Si vous spécifiez une famille particulière de distributions bivariées avec des marges uniformes, il est possible que sous cette formulation, la seule non corrélée soit indépendante. Ne pas être corrélé impliquerait alors l'indépendance.

Par exemple, si vous limitez votre attention à dire la copule gaussienne, alors je pense que la seule non corrélée a des marges indépendantes; vous pouvez facilement redimensionner cela afin que chaque marge soit activée (-1,1).

Quelques codes R pour échantillonner et tracer ces bivariés (pas nécessairement efficacement):

n <- 100000
x <- runif(n,-1,1)
b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
y1 <-b*x
y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
       runif(n,-.5,.5),
       runif(n,0.5,1)*b
      )
y3 <- 2*abs(x)-1

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

(Dans cette formulation, $(Y_2, Y_3)$ donne un quatrième exemple)

[Incidemment, en transformant tout cela en normalité (c.-à-d. En transformant $X$ à $\Phi^{-1}(\frac12(X+1))$et ainsi de suite), vous obtenez des exemples de variables aléatoires normales non corrélées qui ne sont pas indépendantes. Naturellement, ils ne sont pas conjointement normaux.]