Limites de la différence des variables aléatoires corrélées


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Étant donné deux variables aléatoires hautement corrélées et Y , je voudrais limiter la probabilité que la différence | X - Y | dépasse un certain montant: P ( | X - Y | > K ) < δXY|XY|

P(|XY|>K)<δ

Supposons pour plus de simplicité que:

  • Le coefficient de corrélation est connu pour être «élevé», disons: ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY1ϵ

  • sont des moyennes nulles: μ x = μ y = 0X,Yμx=μy=0

  • (ou 0 x i , y i1 si c'est plus facile)1xi,yi10xi,yi1

  • (Si cela facilite les choses, disons que ont une variance identique: σ 2 X = σ 2 Y )X,YσX2=σY2

Je ne sais pas dans quelle mesure il est possible de dériver une limite sur la différence étant donné uniquement les informations ci-dessus (je n'ai certainement pas pu aller nulle part). Une solution spécifique (le cas échéant), des restrictions supplémentaires obligatoires à imposer aux distributions, ou tout simplement des conseils sur une approche serait formidable.

Réponses:


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Même sans ces hypothèses simplificatrices, une limite peut être obtenue en combinant quelques outils habituels:

En détail:

σXY2=σX2+σY22·cov(X,Y)

cov(X,Y)=σX·σY·ρXY

σXY2=σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y

Z

Pr(|Zμ|kσ)1k2

Ensuite (et en utilisant :μXY=μXμY)

Pr(|XYμX+μY|k·σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y)1k2

Nous pouvons utiliser les hypothèses simplificatrices proposées pour obtenir une expression plus simple. Quand:

ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY=1ϵ
μx=μy=0
σX2=σY2=σ2

Alors:

σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y=2·σ2·(1(1ϵ))=2σ2ϵ

Et donc:

Pr(|XY|k·σ2ϵ)1k2

Fait intéressant, ce résultat est valable même si n'est pas petit et si la condition de corrélation passe de à , le résultat ne change pas (car il s'agit déjà d'une inégalité).ϵ=1ϵ1ϵ

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