Limites de la différence des variables aléatoires corrélées

Étant donné deux variables aléatoires hautement corrélées et , je voudrais limiter la probabilité que la différence dépasse un certain montant: $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Supposons pour plus de simplicité que:

Le coefficient de corrélation est connu pour être «élevé», disons: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
sont des moyennes nulles: $X,Y$ $\mu_x = \mu_y = 0$
(ou si c'est plus facile) $-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
(Si cela facilite les choses, disons que ont une variance identique: ) $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

Je ne sais pas dans quelle mesure il est possible de dériver une limite sur la différence étant donné uniquement les informations ci-dessus (je n'ai certainement pas pu aller nulle part). Une solution spécifique (le cas échéant), des restrictions supplémentaires obligatoires à imposer aux distributions, ou tout simplement des conseils sur une approche serait formidable.

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
source

Même sans ces hypothèses simplificatrices, une limite peut être obtenue en combinant quelques outils habituels:

La variance de la différence de deux variables corrélées . Il nous permet de transformer un problème à deux variables en un problème univarié.
L'inégalité de Tchebychev . Il limite la probabilité de dépasser une valeur donnée.

En détail:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

$Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Ensuite (et en utilisant : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Nous pouvons utiliser les hypothèses simplificatrices proposées pour obtenir une expression plus simple. Quand:

ρ_{X, Y} = c o v a r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Alors:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

Et donc:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

Fait intéressant, ce résultat est valable même si n'est pas petit et si la condition de corrélation passe de à , le résultat ne change pas (car il s'agit déjà d'une inégalité). $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Pere
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