La théorie des probabilités est-elle l'étude des fonctions non négatives qui s'intègrent / s'additionnent à une?

C'est probablement une question idiote, mais la théorie des probabilités est-elle l'étude de fonctions qui s'intègrent / s'additionnent à une?

MODIFIER. J'ai oublié la non-négativité. La théorie des probabilités est-elle donc l'étude des fonctions non négatives qui s'intègrent / s'additionnent à une?

À un niveau purement formel, on pourrait appeler la théorie des probabilités l'étude des espaces de mesure avec la mesure totale un, mais ce serait comme appeler la théorie des nombres l'étude des chaînes de chiffres qui se terminent

- des sujets de Terry Tao en théorie des matrices aléatoires .

Je pense que c'est la chose vraiment fondamentale. Si nous avons un espace de probabilité et une variable aléatoire X : Ω → R avec une mesure directe P X : = P ∘ X - 1 , alors la raison pour laquelle une densité f = d P $(\Omega, \mathscr F, P)$$X : \Omega \to \mathbb R$$P_X := P \circ X^{-1}$ s'intègre à un parce queP(Ω)=$f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$$P(\Omega) = 1$ . Et c'est plus fondamental que pdfs vs pmfs.

Voici la preuve:

Il s'agit presque d'une reformulation de la réponse d'AdamO (+1) car tous les CDF sont càdlàg, et il existe une relation biunivoque entre l'ensemble des CDF sur et l'ensemble de toutes les mesures de probabilité sur ( R , B ) , mais puisque le CDF d'un RV est défini en fonction de sa distribution, je considère les espaces de probabilité comme le point de départ de ce type d'effort.$\mathbb R$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Je mets à jour pour développer la correspondance entre les CDF et les mesures de probabilité et comment les deux sont des réponses raisonnables à cette question.

Nous commençons par commencer par deux mesures de probabilité et analyser les CDF correspondants. Nous concluons en commençant par un CDF et en regardant la mesure induite par celui-ci.

Soit et R des mesures de probabilité sur ( R , B ) et soit F Q et F R leurs CDF respectifs (c'est-à-dire F Q ( a ) = Q ( ( - ∞ , a ] ) et de même pour R ). Q et R les deux représenteraient des mesures directes de variables aléatoires (c'est-à-dire des distributions), mais peu importe d'où elles viennent pour cela.$Q$$R$$(\mathbb R, \mathbb B)$$F_Q$$F_R$$F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$R$$Q$$R$

L'idée clé est la suivante: si et R s'accordent sur une collection d'ensembles suffisamment riche, alors ils s'accordent sur l' algèbre σ générée par ces ensembles. Intuitivement, si nous avons une collection bien tenue d'événements qui, à travers un nombre dénombrable de compléments, d'intersections et d'unions, forment tous $Q$$R$$\sigma$$\mathbb B$ , alors s'entendre sur tous ces ensembles ne laisse aucune marge de manœuvre pour être en désaccord sur un ensemble Borel.

Formalisons cela. Soit et soit L = { A ⊆ R : Q ( A ) = R ( A ) } , c'est-à-dire L est le sous-ensemble de P ( R ) sur lequel Q et R d'accord (et sont définis) .Notez que nous leur permettons de se mettre d'accord sur des ensembles non-Borel puisque L tel que défini n'est pas nécessairement un sous-ensemble de$\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$$\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$$\mathcal L$$\mathcal P(\mathbb R)$$Q$$R$$\mathcal L$ . Notre objectif est de montrer que B ⊆ $\mathbb B$$\mathbb B \subseteq \mathcal L$ .

Il s'avère que (l' algèbre σ générée par S ) est en fait B , donc nous espérons que S est une collection d'événements suffisamment grande pour que si Q = R partout sur S alors ils sont forcés d'être égaux sur tout $\sigma(\mathscr S)$$\sigma$$\mathscr S$$\mathbb B$$\mathscr S$$Q = R$$\mathscr S$$\mathbb B$ .

Notez que est fermé sous des intersections finies, et que L est fermé sous des compléments et des intersections disjointes dénombrables (cela découle de l' additivité σ ). Cela signifie que S est un π -système et L est un λ -système . Soit dit en π - λ théorème que nous avons donc σ ( S ) = B de la L . Les éléments de $\mathscr S$$\mathcal L$$\sigma$$\mathscr S$$\pi$$\mathcal L$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$$\mathscr S$sont loin d'être aussi complexes qu'un ensemble borel arbitraire, mais parce que tout ensemble borel peut être formé à partir d'un nombre dénombrable de compléments, d'unions et d'intersections d'éléments de , s'il n'y a pas un seul désaccord entre Q et R sur des éléments de S alors cela sera suivi jusqu'à ce qu'il n'y ait pas de désaccord sur tout B ∈ $\mathscr S$$Q$$R$$\mathscr S$$B \in \mathbb B$ .

Nous venons de montrer que si alors Q = R (sur B ), ce qui signifie que la carte Q ↦ F Q de P : = { P : P  est une mesure de probabilité sur  ( R , B ) } à F : = { F : R → R : F  est un CDF } est une injection.$F_Q = F_R$$Q = R$$\mathbb B$$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$$\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

Maintenant, si nous voulons penser à aller dans l'autre sens, nous voulons commencer par un CDF et montrer qu'il existe une mesure de probabilité unique Q telle que F ( a ) = Q ( ( - ∞ , a ] ) . Cela établira que notre cartographie Q ↦ F Q est en fait une bijection. Pour cette direction, nous définissons F sans aucune référence à une probabilité ou à des mesures.$F$$Q$$F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$Q \mapsto F_Q$$F$

On définit d'abord une fonction de mesure de Stieltjes comme une fonction telle que$G : \mathbb R \to \mathbb R$

1. est non décroissant$G$
2. est continu à droite$G$

(et notez comment être càdlàg découle de cette définition, mais en raison de la contrainte supplémentaire non décroissante "la plupart" des fonctions càdlàg ne sont pas des fonctions de mesure de Stieltjes).

On peut montrer que chaque fonction de Stieltjes induit une mesure unique μ sur ( R , B ) définie par μ ( ( a , b ] ) = G ( b ) - G ( a ) (voir par exemple la probabilité de Durrett et les processus aléatoires pour plus de détails Par exemple, la mesure de Lebesgue est induite par G ( x ) = $G$$\mu$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Notant maintenant qu'un CDF est une fonction de Stieltjes avec les propriétés supplémentaires que lim x → - ∞ F ( x ) : = F ( - ∞ ) = 0 et lim x → ∞ F ( x ) : = F ( ∞ ) = 1 , nous pouvons appliquer ce résultat pour montrer que pour chaque CDF F, nous obtenons une mesure unique Q sur ( R , B$F$$\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$$\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$$F$$Q$$(\mathbb R, \mathbb B)$défini par

Notez comment et Q ( ( - ∞ , - ∞ ] ) = F ( ∞ ) - F ( - ∞ ) = 1 donc Q est une mesure de probabilité et est exactement celle que nous aurions utilisée pour définir $Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$$Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$$Q$$F$ si nous allions dans l'autre sens.

All together we have now seen that the mapping $Q \mapsto F_Q$ is 1-1 and onto so we really do have a bijection between $\mathscr P$ and $\mathcal F$. Bringing this back to the actual question, this shows that we could equivalently hold up either CDFs or probability measures as our object which we declare probability to be the study of (while also recognizing that this is a somewhat facetious endeavor). I personally still prefer probability spaces because I feel like the theory more naturally flows in that direction but CDFs are not "wrong".

No; the Cantor distribution is just such a counterexample. It's a random variable, but it has no density. It has a distribution function, however. I would say, therefore, that probability theory is the study of càdlàg functions, inclusive of the Cantor DF, that have left limits of 0 and right limits of 1.

I'm sure you'll get good answers, but will give you a slightly different perspective here.

You may have heard mathematicians saying that physics is pretty much mathematics, or just an application of mathematics to the most basic laws of nature. Some mathematicians (many?) actually do believe that this the case. I've heard that over and over in university. In this regard you're asking a similar question, though not as wide sweeping as this one.

Physicist usually don't bother even responding to this statement: it's too obvious to them that it's not true. However, if you try to respond it becomes clear that the answer is not so trivial, if you want to make it convincing.

My answer is that physics is not just a bunch of models and equations and theories. It's a field with its own set of approaches and tools and heuristics and the ways of thinking. That's one reason why although Poincare developed relativity theory before Einstein, he didn't realize all the implications and didn't pursue to get everyone on board. Einstein did, because he was a physicist and he got what it meant immediately. I'm not a fan of the guy, but his work on Brownian motion is another example of how a physicist builds a mathematical model. That paper is amazing, and is filled with intuition and traces of thinking that are unmistakenly physics-ey.

So, my answer to you is that even if it were the case that probability deals with the kind of functions you described, it would still not have been the study of those function. Nor it is a measure theory applied to some subclass of measures. Probability theory is the distinct field that studies probabilities, it's linked to a natural world through radioactive decay and quantum mechanics and gases etc. If it happens so that certain functions seem to be suitable to model probabilities, then we'll use them and study their properties too, but while doings so we'll keep an eye on the main prize - the probabilities.

Well, partially true, it lacks a second condition. Negative probabilities do not make sense. Hence, these functions have to satisfy two conditions:

• Continuous distributions:

  $$\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

• Discrete distributions:

  $$\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

Where $\mathcal{D}$ is the domain where probability distribution is defined.

Je dirais non, ce n'est pas fondamentalement la théorie des probabilités, mais je le dirais pour des raisons différentes de celles des autres réponses.

Fondamentalement, je dirais que la théorie des probabilités est l'étude de deux choses:

1. Processus stochastiques, et

2. Inférence bayésienne.

Les processus stochastiques incluent des choses comme lancer des dés, tirer des boules dans des urnes, etc., ainsi que les modèles les plus sophistiqués de la physique et des mathématiques. L'inférence bayésienne raisonne sous l'incertitude, en utilisant des probabilités pour représenter la valeur de quantités inconnues.

Ces deux choses sont plus étroitement liées qu'elles ne le paraissent à première vue. L'une des raisons pour lesquelles nous pouvons les étudier sous le même parapluie est que des aspects importants des deux peuvent être représentés comme des fonctions non négatives qui se résument / s'intègrent à une seule. Mais la probabilité n'est pas seulement l'étude de ces fonctions - leur interprétation en termes de processus aléatoires et d'inférence en est également une partie importante.

Par exemple, la théorie des probabilités comprend des concepts tels que les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires, et des quantités telles que l'entropie, les informations mutuelles, et l'attente et la variance des variables aléatoires. Alors qu'on pouvait définir ces choses uniquement en termes de fonctions non négatives normalisées, la motivation de cela semblerait assez étrange sans l'interprétation en termes de processus aléatoires et d'inférence.

De plus, on rencontre parfois des concepts dans la théorie des probabilités, en particulier du côté de l'inférence, qui ne peuvent pas être exprimés en termes d'une fonction non négative qui se normalise à un. Les soi-disant «prieurs impropres» viennent à l'esprit ici, et AdamO a donné la distribution de Cantor comme un autre exemple.

Il y a certainement certains domaines de la théorie des probabilités dans lesquels l'intérêt principal est dans les propriétés mathématiques des fonctions non négatives normalisées, pour lesquelles les deux domaines d'application que j'ai mentionnés ne sont pas importants. Lorsque c'est le cas, nous l'appelons souvent théorie de la mesure plutôt que théorie des probabilités. Mais la théorie des probabilités est aussi - en fait, je dirais surtout - un champ appliqué, et les applications des distributions de probabilités sont en elles-mêmes une composante non triviale du champ.