Puis-je utiliser une variable qui a une relation non linéaire avec la variable dépendante dans la régression logistique?

Disons que je construis un modèle de régression logistique où la variable dépendante est binaire et peut prendre les valeurs $0$ ou $1$. Soit les variables indépendantes$x_1, x_2, ..., x_m$ - il y a $m$variables indépendantes. Disons que pour le$k$e variable indépendante, l'analyse bivariée montre une tendance en forme de U - c'est-à-dire si je $x_k$ dans $20$ bacs contenant chacun un nombre à peu près égal d'observations et calculant le `` mauvais taux '' pour chaque bac - # observations où y = 0 / total des observations dans chaque bac - alors j'obtiens une courbe en U.

Mes questions sont:

1. Puis-je utiliser directement $x_k$comme entrée lors de l'estimation des paramètres bêta? Des hypothèses statistiques ont-elles été violées, ce qui pourrait entraîner une erreur significative dans l'estimation des paramètres?
2. Faut-il «linéariser» cette variable par une transformation (log, carré, produit avec lui-même, etc.)?

Vous voudriez utiliser une formulation flexible qui capturerait automatiquement la non-linéarité, par exemple, une version d'un modèle additif généralisé . Le choix d'un pauvre est un polynôme$x_k$, $x_k^2$, ..., $x_k^{p_k}$, mais de tels polynômes produisent de terribles survols aux extrémités de la plage de leurs variables respectives. Une bien meilleure formulation serait d'utiliser des splines B (cubiques) (voir une note d'introduction aléatoire de la première page de Google ici , et un bon livre, ici ). Les B-splines sont une séquence de bosses locales:

http://ars.sciencedirect.com/content/image/1-s2.0-S0169743911002292-gr2.jpg

La hauteur des bosses est déterminée à partir de votre régression (linéaire, logistique, autre GLM), car la fonction que vous ajustez est simplement

pour la forme fonctionnelle spécifiée de votre bosse $B(\cdot)$. La version de loin la plus populaire est une cannelure cubique lisse en forme de cloche:

Du côté de l'implémentation, tout ce que vous devez faire est de configurer 3-5-10-quel que soit le nombre de nœuds $x_k$ serait raisonnable pour votre application et créerait les variables 3-5-10 correspondantes dans le jeu de données avec les valeurs de $B\Bigl( \frac{x-x_k}{h_k} \Bigr)$. En règle générale, une simple grille de valeurs est choisie, avec$h_k$ étant deux fois la taille du maillage de la grille, de sorte qu'à chaque point, il y a deux splines B qui se chevauchent, comme dans le tracé ci-dessus.

Tout comme la régression linéaire, la régression logistique et plus généralement les modèles linéaires généralisés doivent être linéaires dans les paramètres mais pas nécessairement dans les covariables. Ainsi, des termes polynomiaux comme un quadratique que Macro suggère peuvent être utilisés. Il s'agit d'une incompréhension courante du terme linéaire dans les modèles linéaires généralisés. Les modèles non linéaires sont des modèles non linéaires dans les paramètres. Si le modèle est linéaire dans les paramètres et contient des termes de bruit additifs qui sont IID, le modèle est linéaire même s'il existe des covariables comme X$^2$log X ou exp (X). Alors que je lis maintenant la question, elle semble être modifiée. Ma réponse spécifique serait oui à 1 et pas nécessaire à 2.

Une autre alternative viable que la boutique de modélisation pour laquelle je travaille régulièrement est de regrouper les variables indépendantes continues et de remplacer le «mauvais taux». Cela force une relation linéaire.