Voici un exemple où et Y ont même des marginaux normaux.XY
Laisser:
X∼N(0,1)
Conditionnel à , soit Y = X si | X | > ϕ , ou Y = - X sinon, pour une constante ϕ .XY=X| X| >ϕOui= - Xϕ
Vous pouvez montrer que, indépendamment de , nous avons marginalement:ϕ
Y∼N(0,1)
Il y a une valeur de telle que cor ( X , Y ) = 0 . Si ϕ = 1,54 alors cor ( X , Y ) ≈ 0ϕcor(X,Y)=0ϕ=1.54cor(X,Y)≈0 .
Cependant, et Y ne sont pas indépendants et les valeurs extrêmes des deux sont parfaitement dépendantes. Voir la simulation dans R ci-dessous et le graphique qui suit.XY
Nsim <- 10000
set.seed(123)
x <- rnorm(Nsim)
y <- ifelse(abs(x)>1.54,x,-x)
print(cor(x,y)) # 0.00284 \approx 0
plot(x,y)
extreme.x <- which(abs(x)>qnorm(0.95))
extreme.y <- which(abs(y)>qnorm(0.95))
extreme.both <- intersect(extreme.x,extreme.y)
print(cor(x[extreme.both],y[extreme.both])) # Exactly 1