La réponse de @Ronald est la meilleure et elle est largement applicable à de nombreux problèmes similaires (par exemple, existe-t-il une différence statistiquement significative entre les hommes et les femmes dans la relation entre le poids et l'âge?). Cependant, j'ajouterai une autre solution qui, bien qu'elle ne soit pas aussi quantitative (elle ne fournit pas de valeur p ), donne un bel affichage graphique de la différence.
EDIT : selon cette question , il semble que predict.lmla fonction utilisée par ggplot2pour calculer les intervalles de confiance, ne calcule pas les bandes de confiance simultanées autour de la courbe de régression, mais uniquement les bandes de confiance ponctuelles. Ces dernières bandes ne sont pas les bonnes pour évaluer si deux modèles linéaires ajustés sont statistiquement différents, ou disent d'une autre manière, s'ils pourraient être compatibles avec le même vrai modèle ou non. Ce ne sont donc pas les bonnes courbes pour répondre à votre question. Puisqu'apparemment il n'y a pas de R intégré pour obtenir des bandes de confiance simultanées (étrange!), J'ai écrit ma propre fonction. C'est ici:
simultaneous_CBs <- function(linear_model, newdata, level = 0.95){
# Working-Hotelling 1 – α confidence bands for the model linear_model
# at points newdata with α = 1 - level
# summary of regression model
lm_summary <- summary(linear_model)
# degrees of freedom
p <- lm_summary$df[1]
# residual degrees of freedom
nmp <-lm_summary$df[2]
# F-distribution
Fvalue <- qf(level,p,nmp)
# multiplier
W <- sqrt(p*Fvalue)
# confidence intervals for the mean response at the new points
CI <- predict(linear_model, newdata, se.fit = TRUE, interval = "confidence",
level = level)
# mean value at new points
Y_h <- CI$fit[,1]
# Working-Hotelling 1 – α confidence bands
LB <- Y_h - W*CI$se.fit
UB <- Y_h + W*CI$se.fit
sim_CB <- data.frame(LowerBound = LB, Mean = Y_h, UpperBound = UB)
}
library(dplyr)
# sample datasets
setosa <- iris %>% filter(Species == "setosa") %>% select(Sepal.Length, Sepal.Width, Species)
virginica <- iris %>% filter(Species == "virginica") %>% select(Sepal.Length, Sepal.Width, Species)
# compute simultaneous confidence bands
# 1. compute linear models
Model <- as.formula(Sepal.Width ~ poly(Sepal.Length,2))
fit1 <- lm(Model, data = setosa)
fit2 <- lm(Model, data = virginica)
# 2. compute new prediction points
npoints <- 100
newdata1 <- with(setosa, data.frame(Sepal.Length =
seq(min(Sepal.Length), max(Sepal.Length), len = npoints )))
newdata2 <- with(virginica, data.frame(Sepal.Length =
seq(min(Sepal.Length), max(Sepal.Length), len = npoints)))
# 3. simultaneous confidence bands
mylevel = 0.95
cc1 <- simultaneous_CBs(fit1, newdata1, level = mylevel)
cc1 <- cc1 %>% mutate(Species = "setosa", Sepal.Length = newdata1$Sepal.Length)
cc2 <- simultaneous_CBs(fit2, newdata2, level = mylevel)
cc2 <- cc2 %>% mutate(Species = "virginica", Sepal.Length = newdata2$Sepal.Length)
# combine datasets
mydata <- rbind(setosa, virginica)
mycc <- rbind(cc1, cc2)
mycc <- mycc %>% rename(Sepal.Width = Mean)
# plot both simultaneous confidence bands and pointwise confidence
# bands, to show the difference
library(ggplot2)
# prepare a plot using dataframe mydata, mapping sepal Length to x,
# sepal width to y, and grouping the data by species
p <- ggplot(data = mydata, aes(x = Sepal.Length, y = Sepal.Width, color = Species)) +
# add data points
geom_point() +
# add quadratic regression with orthogonal polynomials and 95% pointwise
# confidence intervals
geom_smooth(method ="lm", formula = y ~ poly(x,2)) +
# add 95% simultaneous confidence bands
geom_ribbon(data = mycc, aes(x = Sepal.Length, color = NULL, fill = Species, ymin = LowerBound, ymax = UpperBound),alpha = 0.5)
print(p)
Les bandes internes sont celles calculées par défaut par geom_smooth: ce sont des bandes de confiance ponctuelles à 95% autour des courbes de régression. Les bandes externes semi-transparentes (merci pour la pointe graphique, @Roland) sont plutôt les bandes de confiance simultanées à 95%. Comme vous pouvez le voir, elles sont plus grandes que les bandes ponctuelles, comme prévu. Le fait que les bandes de confiance simultanées des deux courbes ne se chevauchent pas peut être considéré comme une indication du fait que la différence entre les deux modèles est statistiquement significative.
Bien sûr, pour un test d'hypothèse avec une valeur p valide , l'approche @Roland doit être suivie, mais cette approche graphique peut être considérée comme une analyse exploratoire des données. De plus, l'intrigue peut nous donner quelques idées supplémentaires. Il est clair que les modèles des deux ensembles de données sont statistiquement différents. Mais il semble également que deux modèles de degré 1 correspondraient presque aussi bien aux données qu'aux deux modèles quadratiques. On peut facilement tester cette hypothèse:
fit_deg1 <- lm(data = mydata, Sepal.Width ~ Species*poly(Sepal.Length,1))
fit_deg2 <- lm(data = mydata, Sepal.Width ~ Species*poly(Sepal.Length,2))
anova(fit_deg1, fit_deg2)
# Analysis of Variance Table
# Model 1: Sepal.Width ~ Species * poly(Sepal.Length, 1)
# Model 2: Sepal.Width ~ Species * poly(Sepal.Length, 2)
# Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
# 1 96 7.1895
# 2 94 7.1143 2 0.075221 0.4969 0.61
La différence entre le modèle de degré 1 et le modèle de degré 2 n'est pas significative, nous pouvons donc aussi utiliser deux régressions linéaires pour chaque ensemble de données.
les modèles sont significativement différents même s'ils se chevauchent. Ai-je raison de le supposer?