Un moyen plus simple de trouver

Considérons 3 échantillons iid tirés de la distribution uniforme , où est paramètre. Je veux trouver où est la statistique d'ordre . $u(\theta, 2\theta)$ $\theta$

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}]

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$

X_{(i)}

$X_{(i)}$

i

$i$

Je m'attendrais à ce que le résultat soit Mais la seule façon dont je peux montrer ce résultat semble être trop longtemps, je ne peux pas trouver de solution simple, est-ce que je manque quelque chose, y a-t-il un raccourci?

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}] = \frac{X_{(1)} + X_{(3)}}{2}

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$

Ce que je fais est le suivant:

Je trouve la densité conditionnelle

$f (x_{(2)} | x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{f (x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f (x_{(1)}, x_{(3)})}$ $f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$
J'intègre

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}] = \int x f (x | x_{(1)}, x_{(3)}) d x

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$

Détails:

J'adopte une formule générale pour la statistique de densité d'ordre (avec un indicateur de l'ensemble ) $\mathbb{I}_{\{A\}}$ $A$

f_{x_{(1)}, \dots, x_{(n)}} (x_{1}, \dots, x_{n}) = n! \prod_{i = 1}^{n} f_{x} (x_{i}) I_{{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(n)}}} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$

obtenir pour mon cas

f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3! \frac{1}{θ^{3}} I_{{x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}}} (x_{1}, \dots, x_{3})

$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$

marginal de est $f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

F_{X_{(1)}, X_{(3)}} (u, v) = \int F_{X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}} (u, X_{2}, v) ré X_{2}

$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$

C'est

F_{X_{(1)}, X_{(3)}} (u, v) = \int 3! \frac{1}{θ^{3}} {je}_{{X_{1} = u \leq X_{2} \leq X_{3} = v}} (u, X, v) ré X = 3! \frac{1}{θ^{3}} [v - u]

$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$

à cet effet

F (X_{(2)} | X_{(2)} = u, X_{(3)} = v) = \frac{F (X_{(1)} = u, X_{(2)}, X_{(3)} = v)}{F (X_{(1)} = u, X_{(3)} = v)} = \frac{3! \frac{1}{θ^{3}} {je}_{u \leq X_{2} \leq \dots \leq v} (u, x_{2}, v)}{3! \frac{1}{θ^{3}} [v - u]} = [v - u]^{- 1} I_{{u < x_{2} < v}}

$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$

qui donne

E [X_{(2)} | X_{(1)} = u, X_{(3)} = v] = [v - u]^{- 1} \int_{u}^{v} X ré X = [v - u]^{- 1} \frac{[v^{2} - u^{2}]}{2} = \frac{u + v}{2}

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$

uniform conditional-expectation order-statistics

— leur
source

Je n'ai pas regardé ce que vous avez fait, mais vous avez obtenu une réponse de , pas

\frac{u - v}{2}

$\frac{u - v}{2}$

\frac{u + v}{2}

$\frac{u + v}{2}$

— Mark L. Stone

@ MarkL.Stone vous avez raison ... J'ai corrigé que la dernière ligne, intégrale de était incorrecte.

\int x d x

$\int x dx$

— les

Comme les ont tous une distribution uniforme, toutes les variables (non ordonnées) sont supposées indépendantes, et aucune autre statistique d'ordre ne se situe entre et , a une distribution uniforme tronquée pris en charge sur l'intervalle . Sa moyenne est évidemment , QED. $X_i$ $X_{(1)}$ $X_{(3)}$ $X_{(2)}$ $[X_{(1)}, X_{(3)}]$ $(X_{(1)}+X_{(3)})/2$

Si vous souhaitez une démonstration formelle, notez que lorsque les sont iid avec une distribution absolument continue , la densité conditionnelle de (conditionnelle à toutes les autres statistiques d'ordre) est , qui est la distribution tronquée. (Quand , est pris pour être ; et quand , est pris pour être ) Cela découle du pdf conjoint des fonctions d'ordre les statistiques , par exemple, ainsi que la définition des densités conditionnelles. $X_i$ $F$ $X_{(k)}$ $dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$ $k=1$ $F(x_{0})$ $0$ $k=n$ $F(x_{n+1})$ $1$

— whuber
source

d F (x_{k})

$dF(x_k)$

ré F (X) = \frac{ré F}{ré X} (X) ré X .

$dF(x)=\frac{d F}{d x}(x)\,dx.$