Voici un guide pour résoudre ce problème (et d'autres comme celui-ci). J'utilise des valeurs simulées pour illustrer, commençons donc par simuler un grand nombre de réalisations indépendantes de la distribution avec la densité . (Tout le code de cette réponse est écrit .)fR
n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)
# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}
Les histogrammes montrent réalisations indépendantes des premier, deuxième et troisième éléments des ensembles de données. Le graphique des courbes rouges . Le fait qu'ils coïncident avec les histogrammes confirme que la simulation fonctionne comme prévu.40,000f
Vous devez déterminer la densité de jointure de . (Y1,Y2,Y3)Puisque vous étudiez les statistiques de commande, cela devrait être routinier - mais le code donne quelques indices, car il trace leurs distributions pour référence.
y <- apply(x, 2, sort)
# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}
Les mêmes données ont été réorganisées dans chacun des ensembles de données. À gauche, l'histogramme de leurs minima , à droite leurs maxima et au milieu leurs médianes .40,000Y1Y3Y2
Ensuite, calculez directement la distribution conjointe de . (U1,U2) Par définition, c'est
F(u1,u2)=Pr(U1≤u1,U2≤u2)=Pr(Y1≤u1Y2,Y2≤u2Y3).
Puisque vous avez calculé la densité conjointe de , il s'agit de faire systématiquement l'intégrale (triple) exprimée par la probabilité de droite. La région d'intégration doit être(Y1,Y2,Y3)
0≤Y1≤u1Y2, 0≤Y2≤u2Y3, 0≤Y3≤1.
La simulation peut nous donner une idée de la façon dont sont distribués: voici un nuage de points des valeurs réalisées de . Votre réponse théorique devrait décrire cette densité.(U1,U2)(U1,U2)
par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)
À titre de vérification, nous pouvons examiner les distributions marginales et les comparer aux solutions théoriques. Les densités marginales, représentées par des courbes rouges, sont obtenues comme et .∂F(u1,1)/∂u1∂F(1,u2)/∂u2
par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))
Il est curieux que ait la même distribution que le origine .U1Xi