Statistiques sur l'indépendance et l'ordre


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J'ai un problème sous la main, que je ne peux pas résoudre. Quelqu'un peut-il m'aider à commencer?

Y1<Y2<Y3 : Une statistique d'ordre de taille 3 à partir d'une distribution ayant pdf Définissez également La tâche consiste à calculer le pdf commun de .

f(x)=2x   0<x<1
U1=Y1Y2  and    U2=Y2Y3
U1 & U2

Mon travail: j'ai découvert le marginal de .U1 & U2

P(U1u1)=010u1y2fY1,Y2(y1,y2)dy1dy2
P(U2u2)=010u2y3fY2,Y3(y2,y3)dy2dy3
Quelle étape dois-je faire ensuite?

Réponses:


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Voici un guide pour résoudre ce problème (et d'autres comme celui-ci). J'utilise des valeurs simulées pour illustrer, commençons donc par simuler un grand nombre de réalisations indépendantes de la distribution avec la densité . (Tout le code de cette réponse est écrit .)fR

n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)

# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
  hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Histogrammes de données originales

Les histogrammes montrent réalisations indépendantes des premier, deuxième et troisième éléments des ensembles de données. Le graphique des courbes rouges . Le fait qu'ils coïncident avec les histogrammes confirme que la simulation fonctionne comme prévu.40,000f

Vous devez déterminer la densité de jointure de . (Y1,Y2,Y3)Puisque vous étudiez les statistiques de commande, cela devrait être routinier - mais le code donne quelques indices, car il trace leurs distributions pour référence.

y <- apply(x, 2, sort)

# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
  hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
  curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Histogrammes des statistiques de commande

Les mêmes données ont été réorganisées dans chacun des ensembles de données. À gauche, l'histogramme de leurs minima , à droite leurs maxima et au milieu leurs médianes .40,000Y1Y3Y2

Ensuite, calculez directement la distribution conjointe de . (U1,U2) Par définition, c'est

F(u1,u2)=Pr(U1u1,U2u2)=Pr(Y1u1Y2,Y2u2Y3).

Puisque vous avez calculé la densité conjointe de , il s'agit de faire systématiquement l'intégrale (triple) exprimée par la probabilité de droite. La région d'intégration doit être(Y1,Y2,Y3)

0Y1u1Y2, 0Y2u2Y3, 0Y31.

La simulation peut nous donner une idée de la façon dont sont distribués: voici un nuage de points des valeurs réalisées de . Votre réponse théorique devrait décrire cette densité.(U1,U2)(U1,U2)

par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)

Nuage de points

À titre de vérification, nous pouvons examiner les distributions marginales et les comparer aux solutions théoriques. Les densités marginales, représentées par des courbes rouges, sont obtenues comme et .F(u1,1)/u1F(1,u2)/u2

par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))

Histogrammes de U_1 et U_2

Il est curieux que ait la même distribution que le origine .U1Xi


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Voici une solution symbolique exacte qui retrace les étapes requises ... ici en utilisant des outils automatisés pour faire les petits grincheux

Soit un échantillon de taille 3 du pdf parent :(X1,X2,X3)f(x)

entrez la description de l'image ici

Ensuite, le pdf commun de l'échantillon ordonné est dit :(X(1),X(2),X(3))g(x1,x2,x3)

entrez la description de l'image ici

où j'utilise la OrderStatfonction du package mathStatica pour Mathematica .

Le cdf commun de est :(U1,U2)P(X(1)X(2)<u1,X(2)X(3)<u2)

entrez la description de l'image ici

Le pdf commun de est dérivé en différenciant simplement le cdf wrt et :(U1,U2)u1u2

entrez la description de l'image ici

Enfin, en guise de vérification rapide de Monte Carlo, voici une comparaison de:

  • la solution théorique exacte dérivée (le joint pdf - la surface orange)

  • tracé par rapport à un pdf conjoint simulé Monte Carlo empirique (histogramme 3D):

entrez la description de l'image ici

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