invariance de corrélation à la transformation linéaire:

C'est en fait l'un des problèmes de la 4ème édition de Gujarati Basic Econometrics (Q3.11) et dit que le coefficient de corrélation est invariant par rapport au changement d'origine et d'échelle, c'est-à-dire où , , , sont des constantes arbitraires.

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

d

$d$

Mais ma principale question est la suivante: Soit et des observations appariées et supposons que et sont positivement corrélés, c'est-à-dire . Je sais que serait négatif basé sur l'intuition. Cependant, si nous prenons , il s'ensuit que qui fait pas de sens. $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\text{corr}(X,Y)>0$ $\text{corr}(-X,Y)$ $a=-1, b=0, c=1, d=0$

corr (- X, Y) = corr (X, Y) > 0

$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$

J'apprécierais que quelqu'un puisse signaler l'écart. Merci.

— Daniel
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Si le livre dit vraiment ce que vous dites, c'est faux; vous avez besoin d'un

a c > 0

$ac>0$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Oui, je pense que le livre le dit mal, sauf si je suis aveugle car je ne vois vraiment aucune condition imposée aux constantes.

— Daniel

Il se peut que l'échelle soit comprise comme une quantité positive.

— Xi'an

@ Xi'an C'est possible, mais je ne pense pas que cela soit indiqué dans le livre. Mais merci beaucoup pour la modification et la réponse d'ailleurs :)

— Daniel

Puisque et l'égalité n'est valable que lorsque et sont tous deux positifs ou tous deux négatifs, c'est-à-dire .

corr (X, Y) = \frac{cov (X, Y)}{var (X)^{1 / 2} var (Y)^{1 / 2}}

$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$

cov (a X + b, c Y + d) = a c cov (X, Y)

$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

c

$c$

a c > 0

$ac>0$

— Xi'an
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