Comment prouver qu'un événement se produit à l'infini souvent (presque sûrement)?

Exercice: il y a un dé à 6 faces et une pièce biaisée qui a une probabilité p> 0 de monter sur chaque lancer. Le dé est lancé à l'infini souvent, et chaque fois que vous lancez un 6, vous lancez ensuite la pièce. Prouvez qu'avec la probabilité 1, vous lancez des "têtes" infiniment souvent.

Maintenant, je reçois cette question intuitivement; les lancers infinis des dés signifient des occurrences infinies de chaque nombre sur le dé, y compris 6, ce qui signifie que la pièce sera également retournée un nombre infini de fois et puisqu'il y a une chance garantie que les têtes soient un résultat, nous obtiendrons également un nombre infini de têtes.

Je ne sais pas comment exprimer cela en notation mathématique cependant et j'espère que quelqu'un ici pourra m'aider.

L'espace échantillon se compose de sept résultats possibles: "1" à "5" sur le dé, "6" et "queues", et "6" et "têtes". Abrévions-les comme$\Omega=\{1,2,3,4,5,6T,6H\}$.

Les événements seront générés par les atomes $\{1\}, \{2\}, \ldots, \{6H\}$ et donc tous les sous-ensembles de $\Omega$ sont mesurables.

La mesure de probabilité $\mathbb{P}$est déterminé par ses valeurs sur ces atomes. Les informations contenues dans la question, ainsi que l'hypothèse (raisonnable) que le tirage au sort est indépendant du lancer de dé, nous indiquent que ces probabilités sont telles que données dans ce tableau:

$$\begin{array}{lc} \text{Outcome} & \text{Probability} \\ 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ \text{6T} & \frac{1-p}{6} \\ \text{6H} & \frac{p}{6} \end{array}$$

Une séquence de réalisations indépendantes de $X$ est une séquence $(\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots)$ dont tous les éléments sont en $\Omega$. Appelons l'ensemble de toutes ces séquences$\Omega^\infty$. Le problème fondamental réside ici dans le traitement de séquences infinies . L'idée motivante derrière la solution suivante est de continuer à simplifier le calcul de probabilité jusqu'à ce qu'il puisse être réduit au calcul de la probabilité d'un événement fini . Cela se fait par étapes.

Premièrement, pour discuter des probabilités, nous devons définir une mesure sur $\Omega^\infty$ qui fait des événements comme "$6H$ se produit à l'infini souvent "en ensembles mesurables. Cela peut être fait en termes d'ensembles" de base "qui n'impliquent pas une spécification infinie de valeurs. Puisque nous savons comment définir les probabilités $\mathbb{P}_n$sur l'ensemble des séquences finies de longueur$n$, $\Omega^n$, définissons "l'extension" de tout élément mesurable $E \subset \Omega^n$ se composer de toutes les séquences infinies $\omega\in\Omega^\infty$ qui ont un élément de $E$ comme préfixe:

$$E^\infty = \{(\omega_i)\in\Omega^\infty\,|\, (\omega_1,\ldots,\omega_n)\in E\}.$$

La plus petite algèbre sigma sur $\Omega^\infty$ qui contient tous ces ensembles est celui avec lequel nous travaillerons.

La mesure de probabilité $\mathbb{P}_\infty$ sur $\Omega^\infty$ est déterminé par les probabilités finies $\mathbb{P}_n$. Autrement dit, pour tous$n$ et tout $E\subset \Omega^n$,

$$\mathbb{P}_\infty(E^\infty) = \mathbb{P}_n(E).$$

(Les déclarations précédentes sur l'algèbre sigma sur $\Omega^\infty$ et la mesure $\mathbb{P}_\infty$ sont des moyens élégants de réaliser ce qui équivaudra à limiter les arguments.)

Après avoir géré ces formalités, nous pouvons faire les calculs. Pour commencer, nous devons établir qu'il est même logique de discuter de la "probabilité" de$6H$se produisant infiniment souvent. Cet événement peut être construit comme l'intersection d'événements de type "$6H$ se produit au moins $n$ fois ", pour $n=1, 2, \ldots$. Parce qu'il s'agit d'une intersection dénombrable d'ensembles mesurables, il est mesurable, donc sa probabilité existe.

Deuxièmement, nous devons calculer cette probabilité de $6H$se produisant infiniment souvent. Une façon consiste à calculer la probabilité de l'événement complémentaire: quelle est la chance que$6H$ne se produit que plusieurs fois? Cet evènement$E$ sera mesurable, car c'est le complément d'un ensemble mesurable, comme nous l'avons déjà établi. $E$ peut être partitionné en événements $E_n$ de la forme "$6H$ se produit exactement $n$ fois ", pour $n=0, 1, 2, \ldots$. Puisqu'il n'y en a que beaucoup, la probabilité de$E$ sera la somme (dénombrable) des probabilités de la $E_n$. Quelles sont ces probabilités?

Encore une fois, nous pouvons faire une partition: $E_n$ se divise en événements $E_{n,N}$ de la forme "$6H$ se produit exactement $n$ fois au rouleau $N$et ne se reproduisent plus jamais. "Ces événements sont disjoints et dénombrables, donc tout ce que nous avons à faire (encore!) est de calculer leurs chances et de les additionner. Mais finalement nous avons réduit le problème à un calcul fini :$\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$n'est pas plus grand que la chance de tout événement fini de la forme "$6H$ se produit pour la $n^\text{th}$ temps au rouleau $N$ et ne se produit pas entre les rouleaux $N$ et $M \gt N$"Le calcul est facile car nous n'avons pas vraiment besoin de connaître les détails: à chaque fois $M$ augmente de $1$, la chance - quelle qu'elle soit - est encore multipliée par la chance que $6H$ n'est pas roulé, ce qui est $1-p/6$. On obtient ainsi une séquence géométrique de rapport commun$r = 1-p/6 \lt 1$. Quelle que soit la valeur de départ, elle devient arbitrairement petite$M$ devient grand.

(Remarquez que nous n'avions pas besoin de prendre une limite de probabilités: il nous suffisait de montrer que la probabilité de $E_{n,N}$ est délimité au-dessus par des nombres qui convergent vers zéro.)

par conséquent $\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$ ne peut avoir aucune valeur supérieure à $0$, d'où il doit être égal $0$. En conséquence,

$$\mathbb{P}_\infty(E_n) = \sum_{N=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_{n,N}) = 0.$$

Où sommes-nous? Nous venons d'établir que pour tout$n \ge 0$, la chance d'observer exactement $n$ résultats de $6H$est nul. En additionnant tous ces zéros, nous concluons que

$$\mathbb{P}_\infty(E) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_n) = 0.$$ C’est la chance que $6H$ne se produit que plusieurs fois. Par conséquent, la chance que$6H$ se produit infiniment de fois est $1-0 = 1$, QED .

---

Chaque énoncé du paragraphe précédent est si évident qu'il est intuitivement trivial. L'exercice de démontrer ses conclusions avec une certaine rigueur, en utilisant les définitions des algèbres sigma et des mesures de probabilité, aide à montrer que ces définitions sont les bonnes pour travailler avec des probabilités, même lorsque des séquences infinies sont impliquées.

Vous avez deux belles réponses à la question en utilisant des principes de probabilité de base. Voici deux théorèmes qui vous aident à répondre rapidement à cette question dans des situations où de telles solutions sont appropriées:

La loi forte des grands nombres (SLLN) vous indique que pour les variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées avec une moyenne finie, la moyenne de l'échantillon converge presque sûrement vers la vraie moyenne.

Le deuxième lemme de Borel-Cantelli (BC2) vous dit que si la somme des probabilités d'une séquence d'événements indépendants est infinie, alors infiniment beaucoup de ces événements se produiront presque sûrement.

Voici comment cela répond à votre question en utilisant SLLN:

Laisser $Y_i$ prenez la valeur 1 si vous obtenez 6 et retournez les têtes à l'essai $i$et zéro sinon. alors$Y_i$ est une variable aléatoire de Bernoulli avec une probabilité de succès $\theta:=p/6>0$. Par le SLLN,$\sum_{i=1}^n Y_i/n \to \theta$presque sûrement. Mais alors nous devons avoir$\sum_{i=1}^n Y_i \to \infty$ c'est sûrement ce que nous voulions montrer.

Voici comment cela répond à votre question en utilisant BC2:

Laisser $E_i$ être le cas où vous roulez 6 et retournez les têtes à l'essai $i$. alors$P(E_i)=p/6>0$, pour chaque $i$, et par conséquent $\sum_{i=1}^nP(E_i)\to\infty$. Ainsi, par BC2, un nombre infini d'événements$E_i$ va arriver presque sûrement, c'est ce que nous voulions montrer.

J'insiste sur le fait que ces deux réponses nécessitent beaucoup de machinerie cachée dans deux théorèmes, et toute personne intéressée à répondre à cette question et à des questions similaires devra décider si elles sont appropriées.

Sans s'appuyer sur aucune sorte de théorie de probabilité avancée comme dans la réponse de RayVelcoro, on pourrait procéder comme suit. Laisser$I_j$ dénotent l'événement où les têtes finales ont été atteintes le $j^{\text{th}}$lancer du dé. Ensuite, par additivité dénombrable, la probabilité d'un nombre fini de têtes est

$$\sum_{j=0}^\infty P(I_j) \stackrel{?}{=} 0.$$ Il suffit maintenant de montrer que $P(I_j) = 0$ pour tous $j$. Pour ce faire, laissez$A_{j,n}$ dénotent l'événement "après $n$ dés, la dernière tête est survenue le $j^{\text{th}}$ roll ". Maintenant, clairement $I_j \subseteq A_{j,n}$ pour tous $n$, et donc $P(I_j) \le P(A_{j,n})$; prendre$n \to \infty$ voir ça $P(I_j) \le \lim_{n \to \infty} P(A_{j,n}) = 0$. $P(A_{j,n})$ peut être calculé directement de manière évidente (c'est la probabilité de réussite suivie de $n-j - 1$ échecs par indépendance).

(EDIT: Cela peut être plus ou moins équivalent à la réponse de @whuber, mais avec un peu moins de formalité / détail, car je suppose que OP n'est pas dans un cadre théorique de mesure.)