Statistiques de commande pour la distribution bêta

Laisser $x_1,\dots,x_n$ be iid puise dans $Beta\left(\frac{k}2,\frac{k-p-1}{2}\right)$ . Comment les statistiques d'ordre minimum et maximum sont-elles distribuées, respectivement?

J'apprécierais grandement une référence si possible. En général, je ne suis pas familier avec la dérivation des statistiques de commande.

Edit: Étant donné que la distribution bêta peut être interprétée comme $k$ -statistique pour la distribution uniforme, je suppose que le minimum ou le maximum de la distribution bêta est distribué selon une autre distribution bêta.

Edit_2: J'ai ajouté un paramètre légèrement plus précis qui me tient à cœur. En fin de compte, je recherche des limites pour le minimum et le maximum, donc quelle que soit la forme qui y mène, je me contenterai. Je suis aussi finalement intéressé par le cas asymptotique, mais c'est ma prochaine préoccupation, pour ainsi dire.

order-statistics beta-distribution

— Lépidoptériste
source

Vous voudrez peut-être mentionner la forme de réponse dont vous avez besoin. En général, le PDF sera un polynôme multiplié par la puissance d'une fonction bêta incomplète, ce qui ne sera probablement ni simplifié ni même calculable sauf numériquement.

— whuber

@whuber, j'ai essayé de répondre à votre question dans ma deuxième édition. J'ai tout d'abord changé le cadre pour être un peu plus spécifique à mes intérêts. Deuxièmement, je m'intéresse principalement à la limitation de ces deux éléments. Quoi qu'il en soit, cela me rendra heureux. Mon argument est-il correct quant à la raison pour laquelle il devrait s'agir d'une distribution bêta (au moins dans certains cas)?

— Lepidopterist

Je crois que votre argument s'applique lorsque (a)

k / 2 = 1

$k/2=1$ et vous cherchez le minimum et (b)

(k - p - 1) / 2 = 1

$(k-p-1)/2=1$ et vous cherchez le maximum. Sinon, cela ne s'applique pas car les valeurs extrêmes d'un ensemble de statistiques d'ordre moyen ne sont pas les mêmes que les statistiques d'ordre.

— whuber

Je m'intéresse au cas plus général

(k - p - 1) / 2

$(k-p-1)/2$ n'est pas nécessairement

1

$1$ . En fait, en fin de compte, je veux calculer ce qui se passe lorsque

k

$k$ et

p

$p$ aller à l'infini.

— Lepidopterist

vous devez également spécifier quelque chose sur la relation entre

k

$k$ et

p

$p$ car ils vont tous les deux à l'infini - l'un va-t-il plus vite que l'autre?

— MichaelChirico

Laissez la variable aléatoire parent $X \sim Beta(a,b)$ avec pdf $f(x)$ :

_{(source: tri.org.au )}

Puis, étant donné un échantillon de taille $n$ , le pdf du $1^{st}$ la statistique de commande (échantillon minimum) est:

_{(source: tri.org.au )}

... et le pdf du $n^{th}$ la statistique d'ordre (échantillon maximum) est:

_{(source: tri.org.au )}

où:

J'utilise la OrderStatfonction du paquet mathStatica pour Mathematica pour automatiser les nitty-gritties
Beta[x,a,b] dénote la fonction Bêta incomplète $B_x(a,b) = \int _0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} d t$
et le domaine de support est (0,1).

— Wolfies
source