Distributions non normales avec zéro asymétrie et zéro excès de kurtosis?

Question principalement théorique. Existe-t-il des exemples de distributions non normales dont les quatre premiers moments sont égaux à ceux de la normale? Pourraient-ils exister en théorie?

Oui, les exemples d'asymétrie et d'excès de kurtosis à zéro sont relativement faciles à construire. (En effet, les exemples (a) à (d) ci-dessous ont également une asymétrie médiane moyenne de Pearson 0)

(a) Par exemple, dans cette réponse, un exemple est donné en prenant un mélange 50-50 d'un variateur gamma (que j'appelle $X$ ) et le négatif d'un second, qui a une densité qui ressemble à ceci:

De toute évidence, le résultat est symétrique et n'est pas normal. Le paramètre d'échelle n'a pas d'importance ici, nous pouvons donc le faire 1. Un choix soigneux du paramètre de forme du gamma donne le kurtosis requis:

1. La variance de ce double-gamma ( $Y$ ) est facile à calculer en termes de variance gamma sur laquelle il est basé: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ .

2. Le quatrième moment central de la variable $Y$ est le même que $E(X^4)$ , qui pour un gamma ( $\alpha$ ) est $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

En conséquence, le kurtosis est $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ . C'est$3$lorsque$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$, ce qui se produit lorsque$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$.

(b) Nous pourrions également créer un exemple en tant que mélange à l'échelle de deux uniformes. Soit $U_1\sim U(-1,1)$ et soit $U_2\sim U(-a,a)$ , et soit $M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$. Clairement, en considérant que$M$est symétrique et a une plage finie, nous devons avoir$E(M)=0$; l'asymétrie sera également de 0 et les moments centraux et les moments bruts seront les mêmes.

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$.

De même, $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$et donc le kurtosis est$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

Si nous choisissons $a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$, puis kurtosis est 3, et la densité ressemble à ceci:

(c) voici un exemple amusant. Soit $X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$ , pour $i=1,2$ .

Soit $Y$ un mélange 50-50 de $\sqrt{X_1}$ et$-\sqrt{X_2}$ :

par symétrie $E(Y)=0$ (nous avons également besoin que $E(|Y|)$ soit fini mais étant donné que $E(X_1)$ est fini, nous l'avons)

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

par symétrie (et le fait que le 3ème moment absolu existe) skew = 0

4ème moment: $E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

kurtosis = $\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

donc quand $\lambda=\frac12$ , kurtosis est 3. C'est le cas illustré ci-dessus.

(d) tous mes exemples jusqu'à présent ont été symétriques, car les réponses symétriques sont plus faciles à créer - mais des solutions asymétriques sont également possibles. Voici un exemple discret.

Comme vous le voyez, aucun de ces exemples ne semble particulièrement "normal". Il serait simple de créer un nombre quelconque de variables discrètes, continues ou mixtes ayant les mêmes propriétés. Bien que la plupart de mes exemples aient été construits sous forme de mélanges, les mélanges n'ont rien de spécial , à part qu'ils sont souvent un moyen pratique de créer des distributions avec des propriétés comme vous le souhaitez, un peu comme construire des choses avec Lego.

Cette réponse donne quelques détails supplémentaires sur le kurtosis qui devraient rendre certaines des considérations impliquées dans la construction d'autres exemples un peu plus claires.

Vous pouvez associer plus de moments de la même manière, mais cela nécessite plus d'efforts. Cependant, parce que la MGF de la normale existe, vous ne pouvez pas faire correspondre tous les moments entiers d'une normale avec une distribution non normale, car cela signifierait que leurs MGF correspondent, ce qui implique que la deuxième distribution était également normale.

Glen_b fait valoir de bons points. J'ajouterais seulement la considération de la fonction Dirac Delta comme grain supplémentaire pour le moulin. Comme le note Wikipedia, "Le DDF est une fonction généralisée, ou distribution, sur la droite du nombre réel qui est nulle partout sauf à zéro, avec une intégrale de un sur toute la droite", avec pour conséquence que tous les moments supérieurs du DDF sont zéro.

Paul Dirac l'applique à la mécanique quantique dans son livre de 1931 Les principes de la mécanique quantique mais ses origines remontent à Fourier, Lesbesgue, Cauchy et autres. Le DDF a également des analogues physiques dans la modélisation de la distribution, par exemple, de la fissure d'une chauve-souris frappant une balle de baseball.