Distribution du maximum de deux variables normales corrélées


Réponses:


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Selon Nadarajah et Kotz, 2008 , Distribution exacte des max / min de deux variables aléatoires gaussiennes , le PDF de X=max(X1,X2) semble être

f(x)=2ϕ(x)Φ(1r1r2x),

ϕ est le PDF et Φ est le CDF de la distribution normale standard.

entrez la description de l'image ici


À quoi cela ressemble-t-il si (pas de corrélation du tout)? J'ai du mal à le visualiser. r=0
Mitch

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J'ai ajouté une figure visualisant la distribution. Il ressemble à un gaussien pressé légèrement incliné vers la droite.
Lucas

22

Soit le PDF normal bivarié pour avec les marginaux standard et la corrélation . Le CDF du maximum est, par définition,fρ(X,Y)ρ

Pr(max(X,Y)z)=Pr(Xz, Yz)=zzfρ(x,y)dydx.

Le PDF normal bivarié est symétrique (via la réflexion) autour de la diagonale. Ainsi, l'augmentation de à ajoute deux bandes de probabilité équivalente au carré semi-infini d'origine: le carré supérieur infinitésimalement épais est tandis que son homologue réfléchi, le bande de droite, est .zz+dz(,z]×(z,z+dz](z,z+dz]×(,z]

Figure

La densité de probabilité de la bande de droite est la densité de à fois la probabilité conditionnelle totale que trouve dans la bande, . La distribution conditionnelle de est toujours normale, donc pour trouver cette probabilité conditionnelle totale, nous n'avons besoin que de la moyenne et de la variance. La moyenne conditionnelle de en est la prédiction de régression et la variance conditionnelle est la variance "inexpliquée" .XzYPr(Yz|X=z)YYXρXvar(Y)var(ρX)=1ρ2

Maintenant que nous connaissons la moyenne et la variance conditionnelles, le CDF conditionnel de donné peut être obtenu en standardisant et en appliquant le CDF normal normal :YXYΦ

Pr(Yy|X)=Φ(yρX1ρ2).

L'évaluer à et et multiplier par la densité de à (un pdf normal normal ) donne la densité de probabilité de la deuxième bande (à droite)y=zX=zXzϕ

ϕ(z)Φ(zρz1ρ2)=ϕ(z)Φ(1ρ1ρ2z).

Doubler cela représente la bande supérieure équi-probable, donnant le PDF du maximum comme

ddzPr(max(X,Y)z)=2ϕ(z)Φ(1ρ1ρ2z).

Récapitulation

J'ai coloré les facteurs pour signifier leurs origines: pour les deux bandes symétriques; pour les largeurs de bande infinitésimales; et pour les longueurs de bande. L'argument de ce dernier, , n'est qu'une version standardisée de conditionnelle à .2ϕ(z)Φ()1ρ1ρ2zY=zX=z


Peut-on l'étendre à plus de deux variables normales standard avec une matrice de corrélation donnée?
A. Donda

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@ A.Donda Oui - mais l'expression devient plus compliquée. Avec chaque nouvelle dimension vient la nécessité de s'intégrer une fois de plus.
whuber
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