Quelle est la distribution du maximum d'une paire de tirages iid, où le minimum est une statistique d'ordre d'autres minima?

Considérons tirages indépendants de cdf , qui est défini sur 0-1, où et sont des entiers. Regroupez arbitrairement les tirages en groupes avec m valeurs dans chaque groupe. Regardez la valeur minimale dans chaque groupe. Prenez le groupe qui a le plus grand de ces minima. Maintenant, quelle est la distribution qui définit la valeur maximale dans ce groupe? De manière plus générale, quelle est la distribution pour la la statistique de l' ordre de de tirages de , où l'ordre kième de ces m dessine est aussi l'ordre pième du n tirages de cette statistique de kème ordre?$n\cdot m$$F(x)$$n$$m$$n$$j$$m$$F(x)$

Tout cela est au plus abstrait, alors voici un exemple plus concret. Considérons 8 tirages de . Groupez-les en 4 paires de 2. Comparez la valeur minimale de chaque paire. Sélectionnez la paire avec le plus élevé de ces 4 minima. Étiquette qui dessine "a". Marquez l'autre valeur de cette même paire comme "b". Quelle est la distribution ? Nous savons . Nous savons que a est le maximum de 4 minimums de , de . Qu'est-ce que ?$F(x)$$F_b(b)$$b>a$$F(x)$$F_a(a) = (1-(1-F(x))^2)^4$$F_b(b)$

Je réponds à ceci: "Regroupez arbitrairement les tirages en n groupes avec m valeurs dans chaque groupe. Regardez la valeur minimale dans chaque groupe. Prenez le groupe qui a le plus grand de ces minima. Maintenant, quelle est la distribution qui définit la valeur maximale dans ce groupe? "
Laisser$X_{i,j}$ la i-ème variable aléatoire dans le groupe j et $f(x_{i,j})$ ($F(x_{i,j})$) sa fonction de densité (cdf).
Laisser$X_{\max,j}, X_{\min,j}$le maximum et le minimum dans le groupe . Soit la variable qui résulte à la fin de tout processus. Nous voulons calculer qui est Maintenant, soit et . $j$$X_{final}$$P(X_{final}<x)$

$$P(X_{\max,j_0}<x \hbox{ and } X_{\min,j_0}=\max_j{X_{\min,j}} \hbox { and } 1\leq j_0\leq n)$$ $$=nP(X_{max,1}<x \hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x\hbox{ and } X_{1,1}=\max_i(X_{i,1})\hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x, X_{1,1}>X_{2,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j},\ldots,X_{1,1}>X_{m,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j})$$ $Y=\max_{j=2\ldots n} X_{min,j}$$W=X_{1,1}$

Un rappel: si sont iid avec pdf (cdf) ( ), alors a pdf et a le pdf . En utilisant cela, nous obtenons le pdf de est $X_1,\ldots X_n$$h$$H$$X_{\min}$$h_{\min}=nh(1-H)^{n-1}$$X_{\max}$$h_{max}=nhH^{n-1}$
$Y$

$$g(y)=(n-1)mf(1-F)^{m-1}[\int_0^y mf(z)(1-F(z))^{m-1} dz]^{n-2},n\geq 2$$

Notez que est une statistique indépendante du groupe 1, donc sa densité conjointe avec n'importe quelle variable du groupe 1 est le produit des densités. Maintenant, la probabilité ci-dessus devient En prenant la dérivée de cette intégrale wrt et en utilisant la formule binomiale, nous obtenons le pdf de . $Y$

$$nm\int_0^x f(w)[\int_0^w \int_y^w f(x_{2,1})dx_{2,1}\ldots\int_y^w f(x_{m,1})dx_{m,1}g(y)dy]dw$$ $$=nm\int_0^x f(w)[\int_0^w (F(w)-F(y))^{m-1}g(y)dy]dw$$ $x$$X_{final}$

Exemple: est uniforme, , . Alors$X$$n=4$$m=3$

$$g(y)=9(1-y)^2(3y+y^3-3y^2)^2,$$

$$P(X_{final}<x)=(1/55)x^{12}-(12/55)x^{11}$$ $$+ (6/5)x^{10}-(27/7)x^9+(54/7)x^8-(324/35)x^7+(27/5)x^6.$$

La moyenne de est de et son sd est de .$X_{final}$$374/455=0.822$$0.145$

Étant donné que les tirages proviennent d'un échantillon iid, nous pouvons simplement considérer le tirage sélectionné. Considérons . Nous savons maintenant que vient de et que . Donc,$f(x) = \frac{d F(x)}{dx}$$b$$f(x)$$b>a$

$$p(b|a) = \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y) dy} \forall b>a, 0 \text{ otherwise}.$$

Le minimum dans un tirage de deux est $m$

$$p_2(m) = f(m)\int_m^1f(y) dy.$$

Le minimum le plus élevé parmi 4 tirages serait

$$p(a) = p_2(a)\left[\int_0^a p_2(z) dz\right]^3 = f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3.$$

Alors finalement,

$$p(b) = \int_0^1 \left[u(a) \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y)dy} f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3 \right] da.$$