Intervalles de signification et de crédibilité pour le terme d'interaction dans la régression logistique

J'ai ajusté une régression logistique bayésienne dans WinBugs et elle a un terme d'interaction. Quelque chose comme ça:

où $x$ est une variable continue normalisée, et $w$est une variable fictive. En réalité, le modèle est plus compliqué, mais je veux garder les choses simples.

Il arrive que le terme d'interaction soit "significatif", mais pas les seuls prédicteurs. Par exemple,

$\mathrm{mean}(b_{1}) = -.2$ et $95%$ quantile: $(-1.3$ et $.7)$

$\mathrm{mean}(b_{2}) = -.4$ et $95%$ quantile: $(-1.3$ et $.5)$

$\mathrm{mean}(b_{3}) = 1.4$ et $95%$ quantile: $(.4$ et $2.5)$

Avez-vous des conseils sur la façon de réagir à cette découverte? Je pensais que je pouvais calculer des intervalles de crédibilité de 95% pour l'ensemble de l'effet de$x$ quand $w=1$. Ce serait: 95% quantile pour l'effet total de x, conditionnel à$w=1$: $(-1.3+.4$ et $.7+2.5) = (-.9 + 3.2)$

Est-ce correct? Sinon, que dois-je faire? Des références sur le sujet?

Non, votre calcul n'est pas correct, car:

une) $b_1$ et $b_3$ sont probablement corrélés dans la distribution postérieure, et

b) même s'ils ne l'étaient pas, ce n'est pas ainsi que vous le calculeriez (pensez à la loi des grands nombres).

Mais n'ayez crainte, il existe un moyen très simple de le faire dans WinBUGS. Définissez simplement une nouvelle variable:

b1b3 <- b1 + b3

et surveiller ses valeurs.

ÉDITER:

Pour une meilleure explication de mon premier point, supposons que le postérieur ait une distribution normale multivariée commune (ce ne sera pas le cas dans ce cas, mais cela sert d'illustration utile). Ensuite, le paramètre$b_i$ a une distribution $N(\mu_i,\sigma_i^2)$, et donc l'intervalle crédible à 95% est $(\mu_i - 1.96 \sigma_i,\mu_i + 1.96 \sigma_i)$ - notez que cela ne dépend que de la moyenne et de la variance.

Maintenant $b_1+b_3$ aura la distribution $N(\mu_1 + \mu_3,\sigma_1^2 + 2 \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 + \sigma_3^2)$. Notez que le terme de variance (et donc l'intervalle crédible à 95%) implique le terme de corrélation$\rho_{13}$ qui ne peut être trouvée à partir des intervalles de $b_1$ ou $b_3$.

(Mon point sur la loi des grands nombres était simplement que les écarts-types de la somme de 2 variables aléatoires indépendantes sont inférieurs à la somme des écarts-types.)

Quant à la façon de l'implémenter dans WinBUGS, quelque chose comme ceci était ce que j'avais à l'esprit:

model {
  a ~ dXXXX
  b1 ~ dXXXX
  b2 ~ dXXXX
  b3 ~ dXXXX
  b1b3 <- b1 + b3

  for (i in 1:N) {
    logit(p[i]) <- a + b1*x[i] + b2*w[i] + b3*x[i]*w[i]
    y[i] ~ dbern(p[i])
  }
}

À chaque étape de l'échantillonneur, le nœud b1b3sera mis à jour à partir de b1et b3. Il n'a pas besoin d'un a priori car c'est juste une fonction déterministe de deux autres nœuds.

Quelques réflexions: 1) Je ne sais pas si le fait que ce soit bayésien importe. 2) Je pense que votre approche est correcte 3) Les interactions dans la régression logistique sont délicates. J'ai écrit à ce sujet dans un article qui porte sur SAS PROC LOGISTIC, mais l'idée générale tient. Ce document est sur mon blog et est disponible ici

J'ai actuellement un problème similaire. Je crois également que l'approche pour calculer l'effet total de w est correcte. Je crois que cela peut être testé via

h0: b2 + b3 * moyenne (x) = 0; ha: b2 + b3 * moyenne (x)! = 0

Cependant, je suis tombé sur un article d'Ai / Norton, qui prétend que "l'ampleur de l'effet d'interaction dans les modèles non linéaires n'est pas égale à l'effet marginal du terme d'interaction, peut être de signe opposé et sa signification statistique n'est pas calculée par logiciel standard. " (2003, p. 123)

Vous devriez donc peut-être essayer d'appliquer leurs formules. (Et si vous comprenez comment faire cela, dites-le-moi.)

PS. Cela semble ressembler au chow-test pour les régressions logistiques. Alfred DeMaris (2004, p. 283) décrit un test pour cela.

Références:

Ai, Chunrong / Norton, Edward (2003): Termes d'interaction dans les modèles logit et probit, Economic Letters 80, p. 123-129

DeMaris, Alfred (2004): Régression avec les données sociales: modélisation des variables de réponse continues et limitées. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken NJ