Calculer les paramètres d'une distribution bêta à l'aide de la moyenne et de la variance

66

Comment puis-je calculer les paramètres et pour une distribution bêta si je connais la moyenne et la variance que je souhaite que la distribution ait? Des exemples d'une commande R pour ce faire seraient très utiles. $\alpha$ $\beta$

r distributions estimation beta-distribution

— Dave Kincaid
source

4

Notez que le paquetage betareg dans R utilise une autre paramétrisation (avec la moyenne, , et la précision, - et par conséquent la variance est ) qui évite d'avoir à effectuer ces calculs.

μ = α / α + β

$\mu=\alpha/\alpha+\beta$

ϕ = α + β

$\phi=\alpha+\beta$

μ (1 - μ) / (1 + ϕ)

$\mu(1-\mu)/(1+\phi)$

— Gay - Rétablir Monica

90

Je mets et et résolu pour et . Mes résultats montrent que et

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

α = (\frac{1 - μ}{σ^{2}} - \frac{1}{μ}) μ^{2}

$\alpha=\left(\frac{1-\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{\mu}\right)\mu^2$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha\left(\frac{1}{\mu}-1\right)$

J'ai écrit du code R pour estimer les paramètres de la distribution bêta à partir d'une moyenne donnée, mu, et de la variance, var:

estBetaParams <- function(mu, var) {
  alpha <- ((1 - mu) / var - 1 / mu) * mu ^ 2
  beta <- alpha * (1 / mu - 1)
  return(params = list(alpha = alpha, beta = beta))
}

Il y a eu une certaine confusion autour des limites de et de pour une distribution bêta donnée, alors clarifions cela ici. $\mu$ $\sigma^2$

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\in\left(0, 1\right)$
$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}<\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{1}=\mu\left(1-\mu\right)\in\left(0,0.5^2\right)$

— supposé normal
source

2

@stan Ceci vous donnera la distribution bêta qui a la même moyenne et la même variance que vos données. Cela ne vous dira pas si la distribution correspond aux données. Essayez le test de Kolmogorov-Smirnov .

— supposé normal

4

Quand j'appelle cette fonction avec estBetaParams(0.06657, 0.1)je reçois alpha=-0.025, beta=-0.35. Comment est-ce possible?

— Amelio Vazquez-Reina -

1

Ces calculs ne fonctionneront que si la variance est inférieure à la moyenne * (1 moyenne).

— danno

2

@danno - C'est toujours le cas que . Pour voir cela, réécrivez la variance comme suit: . Depuis , .

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

σ^{2} = \frac{μ (1 - μ)}{α + β + 1}

$\sigma^2=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}$

α + β + 1 \geq 1

$\alpha+\beta+1\geq1$

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

— supposé normal

1

@ AmelioVazquez-Reina Si vous donnez vos données d'origine, je pense que la raison pour laquelle une distribution bêta ne convient pas sera rapidement claire.

— Glen_b

21

Voici un moyen générique de résoudre ces types de problèmes, en utilisant Maple au lieu de R. Cela fonctionne également pour d'autres distributions:

with(Statistics):
eq1 := mu = Mean(BetaDistribution(alpha, beta)):
eq2 := sigma^2 = Variance(BetaDistribution(alpha, beta)):
solve([eq1, eq2], [alpha, beta]);

ce qui conduit à la solution

\begin{aligned} α & = - \frac{μ (σ^{2} + μ^{2} - μ)}{σ^{2}} \\ β & = \frac{(σ^{2} + μ^{2} - μ) (μ - 1)}{σ^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \alpha &= - \frac{\mu (\sigma^2 + \mu^2 - \mu)}{\sigma^2} \\ \beta &= \frac{(\sigma^2 + \mu^2 - \mu) (\mu - 1)}{\sigma^2}. \end{align*}$

Ceci est équivalent à la solution de Max.

— Erik P.
source

5

$\textbf{shape1} = a$ $\textbf{shape2} = b$

$f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}$

$a > 0$ $b >0$ $0 < x < 1$

En R, vous pouvez le calculer par

dbeta (x, shape1 = a, shape2 = b)

$E(X) = \frac{a}{a+b}$ $V(X) = \frac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)}$

Bon travail!

Modifier

Je trouve:

$a = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu^2$

et

$b = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu (1 - \mu)$

$\mu=E(X)$ $V=V(X)$

— ocram
source

Je me rends compte que ma réponse est très semblable aux autres. Néanmoins, je pense que c'est toujours un bon point de vérifier d'abord ce que la paramétrisation R utilise ....

— ocram

2

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha(\frac{1}{\mu}-1)$

— Nick Sabbe
source

1

Wikipedia a une section sur l'estimation des paramètres qui vous permet d'éviter trop de travail :)

— rm999

1

$[a,b]$

μ = \frac{a β + b α}{α + β}, σ^{2} = \frac{α β {(b - a)}^{2}}{{(α + β)}^{2} (1 + α + β)}

$\mu=\frac{a\beta+b\alpha}{\alpha+\beta},\quad\sigma^{2}=\frac{\alpha\beta\left(b-a\right)^{2}}{\left(\alpha+\beta\right)^{2}\left(1+\alpha+\beta\right)}$

qui peut être inversé pour donner:

α = λ \frac{μ - a}{b - a}, β = λ \frac{b - μ}{b - a}

$\alpha=\lambda\frac{\mu-a}{b-a},\quad\beta=\lambda\frac{b-\mu}{b-a}$

où

λ = \frac{(μ - a) (b - μ)}{σ^{2}} - 1

$\lambda=\frac{\left(\mu-a\right)\left(b-\mu\right)}{\sigma^{2}}-1$

— becko
source

Un utilisateur a tenté de laisser le commentaire suivant: "Il y a une erreur quelque part ici. La formulation actuelle ne renvoie pas la variance correcte."

— Silverfish

1

$\mu$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$

β = \frac{α (1 - μ)}{μ}

$\beta=\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}$

α

$\alpha$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(α + \frac{α (1 - μ)}{μ})^{2} (α + \frac{α (1 - μ)}{μ} + 1)}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu})^2(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}+1)}$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(\frac{α}{μ})^{2} \frac{α + μ}{μ}}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\frac{\alpha}{\mu})^2\frac{\alpha+\mu}{\mu}}$

σ^{2} = \frac{(1 - μ) μ^{2}}{α + μ}

$\sigma^2=\frac{(1-\mu)\mu^2}{\alpha+\mu}$

α

$\alpha$

— Drunk Deriving
source

0

Je cherchais du python, mais je suis tombé sur ça. Donc, cela serait utile pour d'autres comme moi.

Voici un code python pour estimer les paramètres bêta (selon les équations données ci-dessus):

# estimate parameters of beta dist.
def getAlphaBeta(mu, sigma):
    alpha = mu**2 * ((1 - mu) / sigma**2 - 1 / mu)

    beta = alpha * (1 / mu - 1)

    return {"alpha": 0.5, "beta": 0.1}


print(getAlphaBeta(0.5, 0.1)  # {alpha: 12, beta: 12}

$\alpha$ $\beta$ scipy.stats.beta

— codeur mythique
source