Quelle est la différence entre et ?

Généralement, quelle est la différence entre et ?$E(X|Y)$$E(X|Y=y)$

Le premier est fonction de et le dernier est fonction de ? C'est tellement déroutant ..y $y$$x$

En gros, la différence entre $E(X \mid Y)$ et $E(X \mid Y = y)$ est que la première est une variable aléatoire, tandis que la seconde est (dans un certain sens) une réalisation de $E(X \mid Y)$ . Par exemple, si

$$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$$ alors $E(X \mid Y)$est la variable aléatoire $$E(X \mid Y) = \rho Y.$$ Inversement, une fois que $Y = y$ est observé, nous serions plus susceptibles d'être intéressés par la quantité $E(X \mid Y = y) = \rho y$ qui est un scalaire.

Cela semble peut-être une complication inutile, mais le fait de considérer E ( X ∣ Y ) comme une variable aléatoire en soi est ce qui rend les choses comme la loi de la tour E ( X ) = E [ E ( X ∣ Y ) ] logique - la chose à l'intérieur des accolades est aléatoire, donc nous pouvons demander quelle est son attente, alors qu'il n'y a rien de aléatoire à propos de E ( X ∣ Y = y ) . Dans la plupart des cas, nous pourrions espérer calculer E ( X ∣ Y $E(X \mid Y)$$E(X) = E[E(X \mid Y)]$$E(X \mid Y = y)$

$$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$$

puis obtenir E ( X ∣ Y ) en «branchant» la variable aléatoire Y à la place de y dans l'expression résultante. Comme indiqué dans un commentaire précédent, il y a un peu de subtilité qui peut s'introduire dans la façon dont ces choses sont rigoureusement définies et les relient de la manière appropriée. Cela a tendance à se produire avec une probabilité conditionnelle, en raison de certains problèmes techniques avec la théorie sous-jacente.$E(X \mid Y)$$Y$$y$

Supposons que $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires.

Soit $y_0$ un nombre réel fixe , disons $y_0 = 1$ . Alors, $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ est un nombre : c'est la valeur conditionnelle attendue de $X$ étant donné que $Y$ a la valeur $1$ . Maintenant, notez pour un autre nombre réel fixe $y_1$ , disons $y_1=1.5$ , $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ serait la valeur attendue conditionnelle de $X$ étant donné$Y = 1.5$ (un nombre réel). Il n'y a aucune raison de supposer que$E[X\mid Y = 1.5]$ et$E[X\mid Y = 1]$ ont la même valeur. Ainsi, on peut aussi considérer$E[X\mid Y=y]$ comme étant un fonction $g(y)$ réelle qui mappe les nombres réels $y$ aux nombres réels $E[X\mid Y = y]$ . Notez que l'énoncé de la question de l'OP selon lequel $E[X\mid Y = y]$ est une fonction de $x$ est incorrect: $E[X\mid Y = y]$ est une fonction à valeur réelle de $y$ .

D'autre part, $E[X\mid Y]$ est une variable aléatoire $Z$ qui se trouve être une fonction de la variable aléatoire $Y$ . Maintenant, chaque fois que nous écrivons $Z = h(Y)$ , ce que nous voulons dire, c'est que chaque fois que la variable aléatoire $Y$ a la valeur $y$ , la variable aléatoire $Z$ a la valeur $h(y)$ . Chaque fois que $Y$ prend la valeur $y$ , la variable aléatoire $Z = E[X\mid Y]$ prend la valeur$E[X\mid Y = y] = g(y)$ . Ainsi,$E[X\mid Y]$ n'est qu'un autre nom pour la variable aléatoire$Z = g(Y)$ . Notez que$E[X\mid Y]$ est une fonction de$Y$ (pas$y$ comme dans l'énoncé de la question du PO).

Comme exemple illustratif simple, supposons que $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires discrètes avec une distribution conjointe

$$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$$ Notez que$X$et$Y$sontdes variables aléatoires deBernoulli(dépendantes)avec les paramètres$0.7$et$0.6$respectivement, et donc$E[X] = 0.7$ et$E[Y] = 0.6$. Maintenant, notez queconditionnéeà$Y=0$,$X$est une variable aléatoire de Bernoulli avec le paramètre $0.75$ alors qu'elle est conditionnée à $Y = 1$ , $X$ est une variable aléatoire de Bernoulli avec le paramètre $\frac 23$ . Si vous ne voyez pas pourquoi il en est ainsi immédiatement, déterminez simplement les détails: par exemple $$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$$ and similarly for $P(X=1\mid Y=1)$ and $P(X=0\mid Y = 1)$. Hence, we have that $$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$$ Thus, $E[X\mid Y = y] = g(y)$ where $g(y)$ is a real-valued function enjoying the properties: $$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$$

On the other hand, $E[X\mid Y] = g(Y)$ is a random variable that takes on values $\frac 34$ and $\frac 23$ with probabilities $0.4 = P(Y=0)$ and $0.6 = P(Y=1)$ respectively. Note that $E[X\mid Y]$ is a discrete random variable but is not a Bernoulli random variable.

As a final touch, note that

$$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$$ That is, the expected value of this function of $Y$, which we computed using only the marginal distribution of $Y$, happens to have the same numerical value as $E[X]$ !! This is an illustration of a more general result that many people believe is a LIE: $$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$$

Sorry, that's just a small joke. LIE is an acronym for Law of Iterated Expectation which is a perfectly valid result that everyone believes is the truth.

$E(X|Y)$ is the expectation of a random variable: the expectation of $X$ conditional on $Y$. $E(X|Y=y)$, on the other hand, is a particular value: the expected value of $X$ when $Y=y$.

Think of it this way: let $X$ represent the caloric intake and $Y$ represent height. $E(X|Y)$ is then the caloric intake, conditional on height - and in this case, $E(X|Y=y)$ represents our best guess at the caloric intake ($X$) when a person has a certain height $Y = y$, say, 180 centimeters.

$E(X|Y)$ is expected value of values of $X$ given values of $Y$ $E(X|Y=y)$ is expected value of $X$ given the value of $Y$ is $y$

Generally $P(X|Y)$ is probability of values $X$ given values $Y$, but you can get more precise and say $P(X=x|Y=y)$, i.e. probability of value $x$ from all $X$'s given the $y$'th value of $Y$'s. The difference is that in the first case it is about "values of" and in the second you consider a certain value.

You could find the diagram below helpful.