Divergence de Kullback – Leibler entre deux distributions gamma

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Choisir de paramétrer la distribution gamma par le pdf La divergence de Kullback-Leibler entre et est donnée par [1] comme $\Gamma(b,c)$ $g(x;b,c) = \frac{1}{\Gamma(c)}\frac{x^{c-1}}{b^c}e^{-x/b}$ $\Gamma(b_q,c_q)$ $\Gamma(b_p,c_p)$

\begin{aligned} K L_{G a} (b_{q}, c_{q}; b_{p}, c_{p}) & = (c_{q} - 1) Ψ (c_{q}) - \log b_{q} - c_{q} - \log Γ (c_{q}) + \log Γ (c_{p}) \\ + c_{p} \log b_{p} - (c_{p} - 1) (Ψ (c_{q}) + \log b_{q}) + \frac{b_{q} c_{q}}{b_{p}} \end{aligned}

$\begin{align} KL_{Ga}(b_q,c_q;b_p,c_p) &= (c_q-1)\Psi(c_q) - \log b_q - c_q - \log\Gamma(c_q) + \log\Gamma(c_p)\\ &\qquad+ c_p\log b_p - (c_p-1)(\Psi(c_q) + \log b_q) + \frac{b_qc_q}{b_p} \end{align}$

Je suppose que $\Psi(x):= \Gamma'(x)/\Gamma(x)$ est la fonction digamma .

Ceci est donné sans dérivation. Je ne trouve aucune référence qui dérive cela. De l'aide? Une bonne référence serait suffisante. La partie difficile est d'intégrer à un pdf gamma. $\log x$

[1] WD Penny, KL-Divergences of Normal, Gamma, Dirichlet, and Wishart densities , Available at: www.fil.ion.ucl.ac.uk/~wpenny/publications/densities.ps

kullback-leibler gamma-distribution exponential-family

— Ian Langmore
source

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Prendre la dérivée du pdf par rapport à introduit le facteur de vous recherchez: c'est pourquoi digamma apparaît.

c

$c$

l o g (x)

$log(x)$

— whuber

Si vous rencontrez Pierre Baldi et Laurent Itti (2010) «Des bits et des wow: une théorie bayésienne de la surprise avec des applications à l'attention» Neural Networks 23: 649-666, vous constaterez que l'équation 73 donne une divergence KL entre deux pdfs gamma. Attention cependant, il semble que la formule soit mal imprimée.

— Mr Clarinet

Je cherche une solution au même problème et je trouve que celle- ci est utile.

— Yi Yang

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La divergence KL est une différence d'intégrales de la forme

$$ \ eqalign {I (a, b, c, d) & = \ int_0 ^ {\ infty} \ log \ left (\ frac {e ^ {- x / a} x ^ {b-1}} {a ^ b \ Gamma (b)} \ droite) \ frac {e ^ {- x / c} x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} dx \

& = - \ frac {1} {a} \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ de ^ {- x / c}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx - \ log (a ^ b \ Gamma (b)) \ int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {- x / c} x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx \ & \ quad + (b- 1) \ int_0 ^ \ infty \ log (x) \ frac {e ^ {- x / c} x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx \

& = - \ frac {cd} {a} - \ log (a ^ b \ Gamma (b)) + (b-1) \ int_0 ^ \ infty \ log (x) \ frac {e ^ {- x / c } x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx} $$

Il suffit de traiter l'intégrale de droite, qui est obtenue en observant

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial d} Γ (d) = & \frac{\partial}{\partial d} \int_{0}^{\infty} e^{- x / c} \frac{x^{d - 1}}{c^{d}} d x \\ = & \frac{\partial}{\partial d} \int_{0}^{\infty} e^{- x / c} \frac{(x / c)^{d - 1}}{c} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} e^{- x / c} \frac{x^{d - 1}}{c^{d}} \log \frac{x}{c} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \log (x) e^{- x / c} \frac{x^{d - 1}}{c^{d}} d x - \log (c) Γ (d) . \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial d}\Gamma(d) =& \frac{\partial}{\partial d}\int_0^{\infty}e^{-x/c}\frac{x^{d-1}}{c^d}dx\\ =& \frac{\partial}{\partial d} \int_0^\infty e^{-x/c} \frac{(x/c)^{d-1}}{c}\,dx\\ =&\int_0^\infty e^{-x/c}\frac{x^{d-1}}{c^d} \log\frac{x}{c} \,dx\\ =&\int_0^{\infty}\log(x)e^{-x/c}\frac{x^{d-1}}{c^d}dx - \log(c)\Gamma(d). }$

D'où

\frac{b - 1}{Γ (d)} \int_{0}^{\infty} \log (x) e^{- x / c} (x / c)^{d - 1} d x = (b - 1) \frac{Γ^{'} (d)}{Γ (d)} + (b - 1) \log (c) .

$\frac{b-1}{\Gamma(d)}\int_0^{\infty} \log(x)e^{-x/c}(x/c)^{d-1}dx = (b-1)\frac{\Gamma'(d)}{\Gamma(d)} + (b-1)\log(c).$

Brancher sur les rendements précédents

I (a, b, c, d) = \frac{- c d}{a} - \log (a^{b} Γ (b)) + (b - 1) \frac{Γ^{'} (d)}{Γ (d)} + (b - 1) \log (c) .

$I(a,b,c,d)=\frac{-cd}{a} -\log(a^b\Gamma(b))+(b-1)\frac{\Gamma'(d)}{\Gamma(d)} + (b-1)\log(c).$

La divergence KL entre et est égale à , ce qui est simple à assembler. $\Gamma(c,d)$ $\Gamma(a,b)$ $I(c,d,c,d) - I(a,b,c,d)$

Détails d'implémentation

Les fonctions gamma se développent rapidement, donc pour éviter le débordement, ne calculez pas Gamma et ne prenez pas son logarithme: utilisez plutôt la fonction log-Gamma qui se trouvera dans n'importe quelle plate-forme de calcul statistique (y compris Excel, d'ailleurs).

Le rapport est la dérivée logarithmique de généralement appelée la fonction digamma . S'il n'est pas disponible, il existe des moyens relativement simples de l'approcher, comme décrit dans l'article Wikipedia . $\Gamma^\prime(d)/\Gamma(d)$ $\Gamma,$ $\psi,$

Pour illustrer ce point , est directement Rmise en œuvre de la formule en termes de . Cela n'exploite pas une opportunité de simplifier algébriquement le résultat, ce qui le rendrait un peu plus efficace (en supprimant un calcul redondant de ). $I$ $\psi$

#
# `b` and `d` are Gamma shape parameters and
# `a` and `c` are scale parameters.
# (All, therefore, must be positive.)
#
KL.gamma <- function(a,b,c,d) {
  i <- function(a,b,c,d)
    - c * d / a - b * log(a) - lgamma(b) + (b-1)*(psigamma(d) + log(c))
  i(c,d,c,d) - i(a,b,c,d)
}
print(KL.gamma(1/114186.3, 202, 1/119237.3, 195), digits=12)

— whuber
source

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Bonne réponse. Merci! Je crois cependant qu'il y a une erreur de signe dans la quatrième égalité. En outre, votre pdf gamma doit avoir un facteur supplémentaire de «c» dans le dénominateur. Souhaitez-vous que je le modifie?

— Ian Langmore

@Ian Tu as raison; J'écris habituellement la mesure comme

et en ne faisant pas cela, j'ai omis ce facteur supplémentaire de

. Bonne prise sur l'erreur de signe. Si vous souhaitez apporter des modifications, n'hésitez pas!

d x / x

$dx/x$

c

$c$

— whuber

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J'ai fait les corrections.

— Ian Langmore

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La distribution gamma est dans la famille exponentielle car sa densité peut s'exprimer comme:

\begin{aligned} f (x ∣ θ) & = \exp (η (θ) \cdot T (x) - g (θ) + h (x)) \end{aligned}

$\begin{align} \newcommand{\mbx}{\mathbf{x}} \newcommand{\btheta}{\boldsymbol{\theta}} f(\mbx \mid \btheta) &= \exp\bigl(\eta(\btheta) \cdot T(\mbx) - g(\btheta) + h(\mbx)\bigr) \end{align}$

En regardant la fonction de densité gamma, son log-normaliseur est avec des paramètres naturels

g (θ) = \log (Γ (c)) + c \log (b)

$g(\btheta) = \log(\Gamma(c)) + c\log(b)$

θ = [\begin{matrix} c - 1 \\ - \frac{1}{b} \end{matrix}]

$\btheta = \left[\begin{matrix}c-1\\-\frac1 b\end{matrix}\right]$

Toutes les distributions de la famille exponentielle ont une divergence KL:

\begin{aligned} K L (q; p) & = g (θ_{p}) - g (θ_{q}) - (θ_{p} - θ_{q}) \cdot \nabla g (θ_{q}) . \end{aligned}

$\begin{align} KL(q; p) &= g(\btheta_p) - g(\btheta_q) - (\btheta_p-\btheta_q) \cdot \nabla g(\btheta_q). \end{align}$

Il y a une très belle preuve de cela dans:

Frank Nielsen, École Polytechnique et Richard Nock, Entropies and cross-entropies of exponential families.

— Neil G
source

g (.)

$g(.)$

θ_{p}

$\theta_p$

θ_{q}

$\theta_q$

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Oui, cette formule concerne deux distributions de la même famille exponentielle.

— Neil G