Une corrélation non nulle implique-t-elle une dépendance?

Nous savons que la corrélation zéro n'implique pas l'indépendance. Je souhaite savoir si une corrélation non nulle implique une dépendance - c'est-à-dire si $\text{Corr}(X,Y)\ne0$ pour certaines variables aléatoires $X$ et $Y$ , peut-on dire en général que $f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$ ?

Oui parce que

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

ce qui serait impossible si . Donc$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

Question: que se passe-t-il avec des variables aléatoires sans densité?

Soit et Y des variables aléatoires telles que E [ X 2 ] et E [ Y 2 ] sont finies. Ensuite, E [ X Y ] , E [ X ] et E [ Y $X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$ sont tous finis.

La restriction de notre attention à ces variables aléatoires, que dénoter l'affirmation selon laquelle X et Y sont indépendantes des variables aléatoires et B l'affirmation selon laquelle X et Y sont décorrélés des variables aléatoires, qui est, E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . On sait alors que A implique B , c'est-à-dire que les variables aléatoires indépendantes sont des variables aléatoires non corrélées. En effet, une définition$A$$X$$Y$$B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$ de variables aléatoires indépendantes est que est égal à E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] pour toutes les fonctions mesurables g ( ⋅ ) et h ( ⋅ ) ). Ceci est généralement exprimé comme $E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$$h(\cdot)$ Mais

$$A \implies B.$$ est logiquement équivalent à ¬ $A \implies B$ , c'est-à-dire$\neg B \implies \neg A$

les variables aléatoires corrélées sont des variables aléatoires dépendantes .

$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$. For example, $X$ and $Y$ could be independent Cauchy random variables (for which the mean does not exist). Are they uncorrelated random variables in the classical sense?

Here a purely logical proof. If $A\rightarrow B$ then necessarily $\neg B \rightarrow \neg A$, as the two are equivalent. Thus if $\neg B$ then $\neg A$. Now replace $A$ with independence and $B$ with correlation.

Think about a statement "if volcano erupts there are going to be damages". Now think about a case where there are no damages. Clearly a volcano didn't erupt or we would have a condtradicition.

Similarly, think about a case "If independent $X,Y$, then non-correlated $X,Y$". Now, consider the case where $X,Y$ are correlated. Clearly they can't be independent, for if they were, they would also be correlated. Thus conclude dependence.