Comment les fenêtres ont-elles été conçues à l'origine?

Je connais les types de fenêtres courants (Hamming, Hanning, Kaiser, Tukey, etc.). Cependant, alors que de nombreux livres les décrivent - presque aucun ne me dit exactement comment ils ont été dérivés.

Qu'y a-t-il de si saint à propos de la fenêtre de brouillage? Et la pendaison? Je comprends qu'ils jouent tous sur le rapport entre la largeur du lobe principal et l'atténuation du lobe latéral, mais comment ont-ils été dérivés exactement?

La motivation de ma question, c'est parce que j'essaie de savoir si l'on peut concevoir leurs propres fenêtres, qui jouent également sur la largeur du lobe principal et l'énergie du lobe latéral.

Ce n'est qu'une réponse partielle, mais il y a une conférence en ligne où Hamming raconte comment il a créé sa fenêtre éponyme. Commencer à environ 15h15 donne le contexte complet.

Avec une histoire raisonnablement divertissante, il attribue à John Tukey l' invention de la théorie des fenêtres (pour l'analyse du spectre). Cependant, il présente l'ensemble du sujet dans le contexte de l'utilisation des facteurs sigma de Lanczos pour réduire le phénomène de Gibbs . De plus, dans The Art of Doing Science and Engineering (basé sur les mêmes conférences), il décrit comment sa fenêtre est une variation de la fenêtre de Hann , qui, selon lui, a été utilisée par von Hann en économie (bien avant son application dans le traitement du signal). ). Cela suggère que l'histoire remonte beaucoup plus loin, selon la façon dont vous souhaitez la définir.

Le livre où Tukey a nommé pour la première fois la fenêtre de Hamming est La mesure des spectres de puissance du point de vue de l'ingénierie des communications . Étant donné l'affirmation de Hamming selon laquelle Tukey a inventé la théorie des fenêtres, ce serait probablement un bon point de départ pour une compréhension plus approfondie de la façon d'en concevoir de nouvelles. Je pense que le livre n'est qu'une réimpression des parties I et II de son article du Bell System Technical Journal, il est donc disponible en ligne.

Voici une autre réponse partielle, principalement sur la conception de fenêtres personnalisées. Je suis arrivé à cela en faisant quelque chose qui (comme je le sais maintenant mais qui ne l'a pas été alors) est appelé "fenêtrage dans le domaine fréquentiel". Puis, après avoir lu des articles originaux sur le fenêtrage, j'ai pensé que c'était probablement la façon dont certaines fenêtres avaient été conçues en premier lieu, mais je n'ai pas de véritable connaissance de base.

Commencez avec une fenêtre rectangulaire et regardez sa transformée de Fourier, la fonction sinc:

Maintenant, l'échelle et (la fréquence) déplacent deux d'entre eux de sorte que les lobes latéraux ont tendance à s'annuler lorsqu'ils sont additionnés:

(Résultat en vert; désolé pour la mauvaise qualité et la légende inutile.)

Comme vous pouvez le voir, les lobes latéraux ne sont pas seulement réduits en général, ils se déroulent également beaucoup plus rapidement.

$\cos(\pi t)$

Répétez ce processus, et vous obtenez un déploiement de mieux en mieux, au prix d'un lobe principal plus large:

$(\cos(\pi t))^2$$n$$(\cos(\pi t))^n$$n=4$$n$

Parmi les fenêtres Blackman-Harris, celles-ci produisent le roulement de lobe latéral le plus rapide. (J'ai commencé à écrire une preuve de cela, mais je ne l'ai même pas terminée parce que la façon de calculer le roll-off et d'autres paramètres semble être une connaissance commune parmi les experts.)

Si vous souhaitez optimiser autre chose que le roll-off, vous pouvez commencer avec une fenêtre qui a suffisamment de roll-off, puis faire quelque chose de similaire à ce qui précède, mais l'échelle et le décalage d'une manière différente (généralement en utilisant trois termes au lieu de deux) . Cela gardera le roll-off exactement le même, mais cela vous permet de réduire les premiers lobes latéraux, par exemple.

J'espère que cela t'aides. S'amuser.

La plupart des fenêtres bien connues ont été conçues de manière plus ou moins ponctuelle, sur la base d'une certaine notion de fluidité dans le domaine temporel. Pour autant que je sache, il y a deux fenêtres qui sont optimales dans un certain sens: la fenêtre de Chebyshev qui minimise le niveau maximal des lobes latéraux (pas d'énergie!), Et la fenêtre prolate-sphéroïdale, qui maximise le rapport d'énergie entre le lobe principal et les lobes latéraux. Il existe un article intéressant sur la conception de fenêtres dans le domaine fréquentiel. Il traite d'un algorithme qui minimise l'énergie des lobes secondaires soumise à des contraintes sur le niveau maximal des lobes secondaires, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un mélange entre Chebyshev et une fenêtre prolate-sphéroïdale. Voici l'article: une nouvelle fenêtre optimale par JW Adams.