Comment déduire la réponse impulsionnelle d'un système linéaire à partir d'un ensemble de signaux d'entrée et de sortie?

Je veux savoir comment résoudre ces types de problèmes .. est-ce par inspection?

Considérez le système linéaire ci-dessous. Lorsque les entrées du système , et , les réponses des systèmes sont , et comme indiqué. $x_1[n]$ $x_2[n]$ $x_3[n]$ $y_1[n]$ $y_2[n]$ $y_3[n]$

entrez la description de l'image ici

Déterminez si le système est invariant dans le temps ou non. Juste ta réponse.
Quelle est la réponse impulsionnelle?

EDIT: en supposant un cas général où les entrées données ne contiennent pas d'impulsion mise à l'échelle comme $x_2[n]$

— Belbesy
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Astuce: Utilisez et pour déterminer quelle doit être la réponse impulsionnelle de (puisque n'est qu'une impulsion mise à l'échelle). Cela vous donne la réponse à la partie (b). Ensuite, vérifiez les deux autres cas pour voir si les entrées / sorties sont cohérentes avec cette réponse impulsionnelle (en utilisant la propriété de superposition d'un système linéaire) pour obtenir une réponse pour la partie (a).

x_{2} [n]

$x_2[n]$

y_{2} [n]

$y_2[n]$

T

$T$

x_{2} [n]

$x_2[n]$

— Jason R

C'est un problème plus difficile dans le cas général. S'ils sont tous courts comme celui-ci, vous connaissez une limite supérieure sur la durée de la réponse impulsionnelle et vous avez suffisamment de paires entrée / sortie, alors vous pouvez mettre en place un système d'équations linéaires que vous pouvez résoudre pour arriver à l'impulsion inconnue. valeurs de réponse.

— Jason R

Dans le cas général, il est également tout à fait possible qu'il n'y ait pas de solution FIR ou pas de solution du tout. Astuce: vérifiez les valeurs DC de x1 [n] et y1 [n].

— Hilmar

Astuce: à quoi ressemble le signal ? Pour un système LTI , la réponse doit être , non? C'est ça? Notez également que pour un système linéaire variant en temps discret , il n'y a pas une réponse impulsionnelle unitaire mais une infinité de réponses impulsionnelles unitaires, une pour chaque instant où l'impulsion unitaire se produit.

x_{2} [n] - x_{2} [n - 2]

$x_2[n]-x_2[n-2]$

y_{2} [n] - y_{2} [n - 2]

$y_2[n]-y_2[n-2]$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: Je suis d'accord que c'est un terrible problème de devoirs. Cependant, le système semble causal. Alors que est différent de zéro pour , , de sorte que la sortie système ne mène pas l'entrée dans le temps.

y_{3} [n]

$y_3[n]$

n = - 2

$n=-2$

x_{3} [n]

$x_3[n]$

— Jason R

Réponses:

Je ne sais pas de quoi parle la panique ou le manque de causalité. Vous pouvez aborder ce problème simplement en pensant à l'algèbre linéaire. est une transformation linéaire. Appliquer à l'entrée n'est qu'une multiplication matricielle. Nous avons donc Si est une impulsion, il s'agit simplement de sélectionner une colonne de , donc les colonnes de sont les réponses impulsionnelles. Bien sûr, 3 paires entrée-sortie ne suffisent pas pour déterminer complètement comme une matrice 5x5. $L$ $L$

L X = y

$Lx = y$

x

$x$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

Voyons ce que l'invariance temporelle signifierait dans cette perspective. Si une transformation est linéaire et invariante dans le temps, sa réponse impulsionnelle a toujours la même forme et n'est décalée dans le temps que de la même quantité que l'impulsion d'entrée. Supposons donc que la réponse impulsionnelle pour soit 0 1 2 3 0 centrée au-dessus de l'impulsion d'entrée (et donc non causale). La matrice pour un temps linéaire invariant serait alors ressembler à : $L$ $L$

L = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array})

$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$

Donc, pour répondre à la première question, il vous suffit de construire suffisamment de deux colonnes pour voir qu'elles sont différentes pour réfuter l'invariance temporelle. Un moyen direct de le faire est de supposer qu'il est invariant dans le temps et de dériver une contradiction. Cependant, pour montrer qu'il est invariable dans le temps, il faut plus d'informations, c'est-à-dire qu'il faut spécifier complètement la matrice. S'il n'est pas invariable dans le temps, il y a alors une réponse impulsionnelle potentiellement différente pour chaque échantillon, pas un seul, comme d'autres l'ont mentionné.

$L$

— Derek Elkins a quitté SE
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Il semble y avoir une image qui a disparu maintenant et il se peut donc que je manque quelque chose.

$x_1[n-m]$ $y_1[n-m]$
Si les signaux d'entrée sont limités en bande et que leur bande passante est inférieure à votre système, vous ne pourrez pas restaurer la réponse impulsionnelle.
Vous ne pourrez obtenir que la réponse dans les fréquences d'entrée de l'énergie.
Cela pourrait être fait par analyse de fréquence de l'entrée et de la sortie.
Si votre système est en effet LTI la connexion entre entrée et sortie est donnée par convolution avec la réponse impulsionnelle.
La convolution est une multiplication dans le domaine fréquentiel, donc vous pouvez facilement obtenir la réponse impulsionnelle (encore une fois, uniquement aux fréquences où l'entrée a de l'énergie).

Mettre à jour

C'est un bon cas pour montrer la propriété commutative de la convolution.

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

Comme écrit ci-dessus, une façon de le faire consiste à écrire le problème sous forme de matrice.

— Royi
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L'image est de retour maintenant. Il semble que vous ayez une question très précise. Par conséquent, ma réponse, qui était beaucoup plus générale, n'est pas suffisamment ciblée.

— Royi