Identités de transformation de Fourier

Nous savons ce qui suit,

F { x ( - t ) } = X ( - f ) F { x ∗ ( t ) } = X ∗ ( - f

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

Maintenant, si pour un signal

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

Alors, est-il sûr de supposer ce qui suit?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

ou cela dépend-il du type de signal?

$X(f)$

En général: s'il est réel dans un domaine, il est conjugué symétrique dans l'autre.

Oui, si eqs. (2) et (3) tiennent pour tout "type de signal" (ce qu'ils font), alors (5) doit tenir.

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

Les réponses de @Deve et @Hilmar sont techniquement parfaites. Je voudrais apporter quelques éclaircissements supplémentaires, avec quelques questions.

Tout d'abord, connaissez-vous un signal satisfaisant cette identité temps inversé / conjugué :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

Une première idée évidente est de choisir entre des signaux réels et symétriques. Un naturel dans le cadre de Fourier est le cosinus .

Maintenant, laissez-nous devenir un peu plus complexe (jeu de mots intentionnel).

$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

(appelé exponentiel complexe ou cisoïde ) est également une solution . Et sa transformée de Fourier (en tant que fonction généralisée) est en effet réelle (quoique en quelque sorte "infinie"). En allant plus loin, n'importe quelle combinaison linéaire de cisoïdes avec des coefficients réels le fera.

Votre question illustre l'importance de la dualité de Fourier et comment son utilisation peut simplifier certains problèmes. Comme on le voit dans la SYMÉTRIE DE LA DTFT POUR LES SIGNAUX RÉELS :

$x(n)$

$x$$t$$f$

Il est également appelé tire-bouchon / spirale Heyser .