Pourquoi utiliserait-on une fenêtre Hann ou Bartlett?

Supposons que nous concevions un filtre FIR passe-bas et que je souhaite utiliser l'une de ces trois fenêtres: Bartlett, Hann ou Hamming. Extrait de Oppenheim & Schafer's Discrete-Time Signal Processing, 2nd Ed , p. 471:}

Tous les trois offrent la même largeur de bande de transition:

Δ ω = \frac{8 π}{N}

$\Delta\omega=\frac{8\pi}{N}$ où est l'ordre du filtre et est supposé suffisamment grand.

N

$N$

Cependant, le dépassement (appelons-le ) est différent pour chaque fenêtre, et l'inégalité suivante s'applique: $\delta$

δ_{H une m m je n g} < δ_{H une n n} < δ_{B une r t l e t t}

$\delta_{Hamming}<\delta_{Hann}<\delta_{Bartlett}$

Donc, si nous utilisons une fenêtre de Hamming, nous obtenons le plus petit dépassement et une bande de transition de largeur . Si nous utilisons l'une des deux autres fenêtres, la largeur de la bande de transition est la même, mais le dépassement augmente. $\Delta\omega$

Cela m'amène à penser qu'il n'y a aucun cas où l'on utiliserait une fenêtre Hann ou Bartlett, car celle de Hamming est meilleure qu'eux: elle améliore un aspect ( ), reste la même dans un autre ( ). $\delta$ $\Delta\omega$

La question est: pourquoi quelqu'un choisirait-il une fenêtre Hann ou Bartlett si une fenêtre Hamming peut toujours être utilisée?

— Tendero
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Pourriez-vous apporter quelques éclaircissements - avez-vous des références pour ces équations? Qu'entendez-vous par «dépassement» dans ce contexte?

— Martin Thompson

@MartinThompson Je viens d'ajouter la référence. Par dépassement, je veux dire le pic de la réponse en fréquence en raison de la discontinuité du filtre passe-bas idéal que l'on essaie d'approcher.

— Tendero

En examinant fred harris Figures of Merit pour diverses fenêtres (tableau 1 dans ce lien ), le Hamming est comparé au Hanning (Hann) à différentes valeurs de $\alpha$ et à partir de là, il est clair que le Hanning fournirait un plus grand rejet de la bande d'arrêt (le classique Hann est avec $\alpha =2$ et d'après le tableau, la chute des lobes latéraux est de -18 dB par octave). J'ai fourni le lien car vous pouvez voir beaucoup plus de considérations impliquées lors du choix d'une fenêtre pour diverses applications.

Le résultat de ceci est apparent lorsque l'on compare les noyaux pour une fenêtre de Hann et Hamming à 51 échantillons en utilisant Matlab / Octave. Notez le premier niveau de lobe latéral plus élevé avec Hann mais le rejet globalement beaucoup plus important:

Personnellement, je n'utiliserais aucune des deux fenêtres pour la conception des filtres. Si n'importe quelle fenêtre, j'utiliserais la fenêtre de Kaiser, ou de préférence des firls. Voir la conception du filtre FIR: Window vs Parks-McClellan and Least-Squares pour la discussion connexe.

J'ai convolué un Hann de 26 échantillons avec un Hamming de 26 pour arriver à un autre échantillon de 51 "Hann-Hamming" avec le résultat suivant:

MISE À JOUR: Ce Hann-Hamming ne surpasse pas (généralement) une fenêtre Kaiser de largeur de lobe principal similaire:

J'ai ensuite essayé ce que j'appelle un "SuperKaiser" où j'ai convolutionné deux fenêtres Kaiser de longueur plus courte pour arriver à une autre fenêtre à 51 touches avec le résultat suivant. Cela a été fait en convoluant Kaiser (26,5,5) avec Kaiser (26,5,5) de telle sorte que SuperKaiser (51,5,5) = conv (kaiser (26,5,5), kaiser (26,5,5). À première vue, il semble généralement surpasser le kaiser (51, 12), correspondant à la largeur du lobe principal et offrant un rejet supérieur de la bande d'arrêt sur la plupart de la bande d'arrêt. Une intégration du bruit total de la bande d'arrêt sous l'hypothèse d'AWGN est intéressante pour voir si cette nouvelle fenêtre est supérieure dans cette condition (La zone relative sous les deux premiers lobes latéraux où SuperKaiser est inférieur compense-t-elle complètement toutes les améliorations de la bande d'arrêt restantes?). Si j'ai le temps, j'ajouterai cette évaluation. Intéressant! Comme @A Concerned Citizen l'a astucieusement souligné,

— Dan Boschen
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Salut Dan, merci pour ta réponse. Cette table a quelque chose qui me semble bizarre. Je pensais que la fenêtre de Hann était définie de manière univoque . Dans cet article, il semble qu'il ait un paramètre variable

α

$\alpha$ . D'où est ce que ça vient? Si on varie

α

$\alpha$ , la fenêtre est-elle toujours une fonction de Hann à proprement parler?

— Tendero

@Tendero fred harris explique en détail à la page 181 dans la section de lien C pour le

C o s^{α} (X)

$Cos^{\alpha}(X)$ fenêtres, et là, il dit que la fenêtre Hann est spécifiquement avec

α = 2

$\alpha =2$ . Je l'ai précisé dans la réponse, merci!

— Dan Boschen

@Tendero Donc, en fin de compte, ce que je pense manquait à votre table de référence, mais une considération importante est la chute des lobes latéraux. Ceci est particulièrement préoccupant avec les applications de multi-échantillonnage car il peut y avoir de nombreuses bandes d'alias qui se replient, donc un roll-off rapide aide à minimiser la croissance du bruit. Toujours dans l'intérêt de minimiser le bruit global en présence d'AWGN (uniquement), un décroissement plus rapide au détriment d'un premier lobe plus élevé gagnerait généralement.

— Dan Boschen

Cette comparaison intrigante m'a fait répéter, mais je n'ai pas pu obtenir les mêmes résultats. Ensuite, j'ai regardé de plus près et il semble que vous ne correspondiez pas étroitement au paramètre de Kaiser. En utilisant la Asconception, je me suis très proche de As=108.5pour N=32et N[hann]=17, N[ham]=16mais les lobes latéraux de la fenêtre convolutée sont inégaux et vacillent au-dessus de Kaiser. J'ai vu des gens "mêler" deux fenêtres, ou plus, mais comme moyen arithmétique ou géométrique, jamais convolué. Pourtant, les résultats sont impressionnants.

— un citoyen concerné

@aconcernedcitizen Oui, quelque chose n'allait pas à ce sujet et en fait, j'utilisais trop rapidement les 30 et 31 pour créer une fenêtre à 51 touches "équivalente": Ce que je faisais, c'était comparer une fenêtre de 60 échantillons à une Kaiser à 51 touches - Pas juste! J'ai mis à jour le message en convoluant 26 et 26, ce qui donne 51 échantillons, ce qui serait alors une comparaison équitable, et bien sûr, Kaiser semble gagner pour les performances globales (bien que je ne sois pas passé par un bruit de bande d'arrêt total intégré). La convolution semble un choix naturel car elle se traduit par la multiplication des réponses en fréquence, équivalente à la cascade de deux fenêtres.

— Dan Boschen

S'il y a un attaquant connaissant la fenêtre et essayant de concentrer le spectre de bruit afin de minimiser votre S / N, alors une solution minimax, telle qu'une fenêtre de Hamming, pourrait être le compteur optimal.

La plupart du bruit a tendance à ne pas être si délibérément malveillant, ce qui rend une solution minimax moins optimale, au moins statistiquement parlant.

— hotpaw2
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