Quelle est la meilleure approximation IIR de premier ordre (filtre AR) d'un filtre à moyenne mobile (filtre FIR)?

Supposons le filtre IIR de premier ordre suivant:

$$y[n] = \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1]$$

Comment choisir le paramètre $\alpha$ st l'IIR se rapproche le mieux possible du FIR qui est la moyenne arithmétique des derniers $k$échantillons:

$$z[n] = \frac{1}{k}x[n] + \frac{1}{k}x[n-1] + \ldots + \frac{1}{k}x[n-k+1]$$

Où $n \in [k, \infty)$ , ce qui signifie que l'entrée pour l'IIF pourrait être plus longue que $k$ et pourtant j'aimerais avoir la meilleure approximation de la moyenne des dernières $k$entrées.

Je sais que l'IIF a une réponse impulsionnelle infinie, donc je recherche la meilleure approximation. Je serais heureux pour la solution analytique que ce soit pour la fonction de coût ${L}_{2}$ ou ${L}_{1}$ .

Comment ces problèmes d'optimisation pourraient-ils être résolus avec un IIR de premier ordre uniquement?

Merci.

Il n'y a pas de solution analytique pour que soit un scalaire (je pense). Voici un script qui vous donne pour un donné . Si vous en avez besoin en ligne, vous pouvez créer une LUT. Le script trouve la solution qui minimiseα $\alpha$$\alpha$$K$

$$\int_{0}^{\pi} dw \quad \left|H_1(jw) - H_2(jw)\right|^2$$

où est la réponse en fréquence FIR et est la réponse en fréquence IIR.H $H_1$$H_2$

Vous n'avez spécifié aucune plage pour K. Mais je tiens simplement à préciser que le système suivant est équivalent à votre filtre moyen et a la même complexité de calcul et votre IIR de premier ordre!

$H(z) = \frac{1}{K} \frac{1 - z^{-K}}{1-z^{-1}}$

function a = find_a(K)

w = 0.0001:0.001:pi;
as = [-1:0.001:-0.001  0.001:0.001:1];

E = zeros(size(as));
for idx=1:length(as)
    fJ = J(w,as(idx),K);
    E(idx) = sum(fJ);
end

[Emin, indx] = min(E)
a = as(indx)

function f = J(w,a,K)
    num = 2*(2-a)*(1-cos(w*K)) + 2*(cos(w*(K-1)) - cos(w)) - 2*(1-a)*(cos(w)-cos(w*(K+1)));
    den = (2-a)^2 + 1 + (1-a)^2 + 2*(1-a)*cos(2*w) - 2*(2-a)^2*cos(w);
    f = -(a/K)*num./den;
    f = f+(1/K^2)*(1-cos(w*K))./(1-cos(w))+a^2./(1+(1-a)^2-2*(1-a)*cos(w));
end

end

Il y a une discussion intéressante sur ce problème dans le traitement de signal intégré avec l'architecture de micro-signal , à peu près entre les pages 63 et 69 . À la page 63 , il comprend une dérivation du filtre moyen récursif mobile exact (que niaren a donné dans sa réponse ),

$$H(z) = { 1 \over{N} } { 1 - z^{-N} \over { 1 - z^{-1} } }.$$

Par souci de commodité par rapport à la discussion suivante, elle correspond à l'équation de différence suivante:

$$y_n = y_{n-1} + {1\over{N} }(x_n - x_{n-N}).$$

L'approximation qui met le filtre sous la forme que vous avez spécifiée nécessite de supposer que , car (et je cite la page 68 ) " est la moyenne de échantillons ". Cette approximation nous permet de simplifier l'équation de différence précédente comme suit: y n - 1 x $x_{n-N} \approx y_{n-1}$$y_{n-1}$$x_n$

$$\begin{array}\\ y_{n} = y_{n-1} + {1\over{N}}(x_n - y_{n-1}) \\ y_{n} = y_{n-1} - {1\over{N}} y_{n-1} + {1\over{N}}x_n \\ y_{n} = (1-{1\over{N}})y_{n-1} + {1\over{N}}x_n. \end{array}$$

En définissant , nous arrivons à votre forme originale, , qui montre que le coefficient que vous voulez ( par rapport à cette approximation) est exactement (où est le nombre d'échantillons). yn=αxn+(1-α)yn-1$\alpha = {1\over{N}}$$y_{n} = \alpha x_n + (1-\alpha)y_{n-1}$$1\over{N}$$N$

Cette approximation est-elle la "meilleure" à certains égards? C'est certainement élégant. Voici comment la réponse en amplitude se compare [à 44,1 kHz] pour N = 3, et lorsque N augmente à 10 (approximation en bleu):

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Comme le suggère la réponse de Peter , l'approximation d'un filtre FIR avec un filtre récursif peut être problématique sous une norme des moindres carrés. Une discussion approfondie sur la façon de résoudre ce problème en général peut être trouvée dans la thèse de JOS, Techniques pour la conception de filtres numériques et l'identification de systèmes avec application au violon . Il préconise l'utilisation de la norme de Hankel, mais dans les cas où la réponse de phase n'a pas d'importance, il couvre également la méthode de Kopec, qui pourrait bien fonctionner dans ce cas (et utilise une norme ). Un large aperçu des techniques de la thèse peut être trouvé ici . Ils peuvent donner d'autres approximations intéressantes.$L^2$

OK, essayons d'en tirer le meilleur: donc que le coefficient de est . x[n-m]α(1-α)

$$\begin{array}{lcl} y[n] &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1] \\ &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) \alpha x[n-1] + (1 - \alpha)^2 y[n - 2]\\ &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) \alpha x[n-1] + (1 - \alpha)^2 \alpha x[n-2] + (1 - \alpha)^3 y[n - 3]\\ \end{array}$$ $x[n-m]$$\alpha(1-\alpha)^m$

La meilleure approximation quadratique moyenne minimisera:

$$\begin{array}{lcl} J(\alpha) &=& \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2 + \sum_{m=k}^\infty \alpha^2(1-\alpha)^{2m}\\ &=& \sum_{m=0}^{k-1} \left(\alpha^2(1-\alpha)^{2m} - \frac{2}{k}\alpha(1-\alpha)^m + \frac{1}{k^2}\right) + \alpha^2 (1-\alpha)^{2k} \sum_{m=0}^\infty (1-\alpha)^{2m} \\ &=& \alpha^2\frac{1- (1-\alpha)^{2k}}{1 - (1-\alpha)^2} + \frac{2\alpha}{k} \frac{1 - (1 - \alpha)^k}{1 - (1 - \alpha)} + \frac{\alpha^2(1-\alpha)^{2k}}{1 - (1 - \alpha)^2}+ \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha^2}{1 - (1 - \alpha)^2} + \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k) + \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha^2}{2\alpha - \alpha^2 }+ \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k)+ \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha}{2 - \alpha }+ \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k)+ \frac{1}{k}\\ \end{array}$$ car les coefficients FIR sont nuls pour .$m > k - 1$

La prochaine étape consiste à prendre des dérivés et à égaler à zéro.

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En regardant un tracé du dérivé pour et de 0 à 1, il semble que le problème (tel que je l'ai défini) soit mal posé, car la meilleure réponse est .$J$$K = 1000$$\alpha$$\alpha = 0$

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Je pense qu'il y a une erreur ici. La façon dont cela devrait être selon mes calculs est la suivante:

$$\begin{array}{lcl} J(\alpha) &=& \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2 + \sum_{m=k}^\infty \alpha^2(1-\alpha)^{2m} \\ &=& \sum_{m=0}^{k-1} \left(\alpha^2(1-\alpha)^{2m} - \frac{2}{k}\alpha(1-\alpha)^m + \frac{1}{k^2}\right) + \alpha^2 (1-\alpha)^{2k} \sum_{m=0}^\infty (1-\alpha)^{2m} \\ &=& \alpha^2\frac{1- (1-\alpha)^{2k}}{1 - (1-\alpha)^2} - \frac{2\alpha}{k} \frac{1 - (1 - \alpha)^k}{1 - (1 - \alpha)} + \frac{1}{k} + \frac{\alpha^2(1-\alpha)^{2k}}{1 - (1 - \alpha)^2} \end{array}$$

La simplifier selon Mathematica donne:

$$J(\alpha) = \frac{\alpha}{2 - \alpha} + \frac{2 {(1 - \alpha)}^{k} -1}{k}$$

L'utilisation du code suivant sur MATLAB donne quelque chose d'équivalent bien que différent:

syms a k;

expr1 = (a ^ 2) * ((1 - ((1 - a) ^ (2 * k))) / (1 - ((1 - a) ^ 2)));
expr2 = ((2 * a) / k) * ((1 - ((1 - a) ^ (k))) / (1 - (1 - a)));
expr3 = (1 / k);
expr4 = ((a ^ 2) * ((1 - a) ^ (2 * k))) / (1 - ((1 - a) ^ (2)));

simpExpr = simplify(expr1 - expr2 + expr3 + expr4);

$$J(\alpha) = \frac{-2}{\alpha - 2} - \frac{k - 2{(1 - \alpha)}^{k} + 1}{k}$$

Quoi qu'il en soit, ces fonctions ont un minimum.

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Supposons donc que nous ne nous soucions vraiment que de l'approximation sur le support (longueur) du filtre FIR. Dans ce cas, le problème d'optimisation est simplement:

$$J_2(\alpha) = \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2$$

Le pour différentes valeurs de par rapport à donne la date dans les graphiques et le tableau ci-dessous.$J_2(\alpha)$$K$$\alpha$

Pour = 8. = 0,1533333 Pour = 16. = 0,08 Pour = 24. = 0,0533333 Pour = 32. = 0,04 pour = 40. = 0,0333333 pour = 48. = 0,0266667 pour = 56. = 0,0233333 pour = 64. $K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$
$K$$\alpha_{\tt min}$ = 0,02
pour = 72. = 0,0166667 $K$$\alpha_{\tt min}$

Les lignes pointillées rouges sont et les lignes vertes sont , la valeur de qui minimise (choisie parmi ).$1/K$$\alpha_{\tt min}$$\alpha$$J_2(\alpha)$$\tt alpha = [0:.01:1]/3;$

Sur la base de tests expérimentaux avec kdans la plage (2 à 100) le meilleur ajustement (somme erreur quadratique) , on obtient une relation d' alfa = 1/k^0.865 être knombre d'échantillons pour filtre MovAvg

Je suis tombé sur cette vieille question et je voudrais partager ma solution. Comme mentionné dans d'autres réponses, il n'y a pas de solution analytique, mais la fonction à minimiser se comporte bien et la valeur optimale de peut être trouvée facilement avec quelques itérations de Newton. Il existe également une formule pour vérifier l'optimalité du résultat.$\alpha$

La réponse impulsionnelle du filtre à moyenne mobile de longueur FIR est donnée par$N$

$$h_{FIR}[n]=\frac{1}{N}(u[n]-u[n-N])\tag{1}$$

où est la fonction de pas d'unité. Le filtre IIR de premier ordre$u[n]$

$$y[n]=\alpha x[n]+(1-\alpha)y[n-1]\tag{2}$$

a la réponse impulsionnelle

$$h_{IIR}[n]=\alpha(1-\alpha)^nu[n]\tag{3}$$

Le but est maintenant de minimiser l'erreur quadratique

$$\epsilon=\sum_{n=0}^{\infty}\left(h_{FIR}[n]-h_{IIR}[n]\right)^2\tag{4}$$

En utilisant et , l'erreur peut être écrite comme$(1)$$(3)$

$$\begin{align}\epsilon(\alpha)&=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\alpha(1-\alpha)^n-\frac{1}{N}\right)^2+\sum_{n=N}^{\infty}\alpha^2(1-\alpha)^{2n}\\&=\alpha^2\sum_{n=0}^{\infty}(1-\alpha)^{2n}-\frac{2\alpha}{N}\sum_{n=0}^{N-1}(1-\alpha)^n+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{N^2}\\&=\frac{\alpha^2}{1-(1-\alpha)^2}-\frac{2\alpha}{N}\frac{1-(1-\alpha)^N}{1-(1-\alpha)}+\frac{1}{N}\\&=\frac{\alpha}{2-\alpha}-\frac{2}{N}\left(1-(1-\alpha)^N\right)+\frac{1}{N},\qquad 0<\alpha<2\tag{5}\end{align}$$

Cette expression est très similaire à celle donnée dans cette réponse , mais elle n'est pas identique. La restriction sur dans s'assure que la somme infinie converge, et elle est identique à la condition de stabilité pour le filtre IIR donnée par .$\alpha$$(5)$$(2)$

La mise à zéro de la dérivée de entraîne$(5)$

$$(1-\alpha)^{N-1}(2-\alpha)^2=1\tag{6}$$

Notez que le optimal doit être dans l'intervalle car des valeurs plus élevées de entraînent une réponse impulsionnelle alternée , qui ne peut pas approximer la répétition impulsionnelle constante du filtre à moyenne mobile FIR.$\alpha$$(0,1]$$\alpha$$(3)$

En prenant la racine carrée de et en introduisant , on obtient$(6)$$\beta=1-\alpha$

$$\beta^{(N+1)/2}+\beta^{(N-1)/2}-1=0\tag{7}$$

Cette équation ne peut pas être résolue analytiquement pour , mais elle peut être résolue pour :$\beta$$N$

$$N=-2\frac{\log(1+\beta)}{\log(\beta)},\qquad \beta\neq 0\tag{8}$$

L'équation peut être utilisée pour revérifier une solution numérique de ; il doit retourner à la valeur spécifiée de .( 7 ) $(8)$$(7)$$N$

L'équation peut être résolue avec quelques lignes de code (Matlab / Octave):$(7)$

N = 50; % longueur de filtre souhaitée du filtre à moyenne mobile FIR

if (N == 1)% aucune itération pour le cas trivial
    b = 0;
autre
    % Itération de Newton
    b = 1; % valeur de départ
    Nit = 7;
    n = (N + 1) / 2;
    pour k = 1: Nit,
        f = b ^ n + b ^ (n-1) -1;
        fp = n * b ^ (n-1) + (n-1) * b ^ (n-2);
        b = b - f / fp;
    fin

    % résultat du contrôle
    N0 = -2 * log (1 + b) / log (b) + 1% doit être égal à N
fin

a = 1 - b;

Voici un tableau avec les valeurs optimales de pour une plage de longueurs de filtre :$\alpha$$N$

   N alpha

   1 1,0000e + 00
   2 5.3443e-01
   3 3.8197e-01
   4 2,9839e-01
   5 2,4512e-01
   6 2.0809e-01
   7 1.8083e-01
   8 1.5990e-01
   9 1.4333e-01
  10 1.2987e-01
  20 6.7023e-02
  30 4.5175e-02
  40 3.4071e-02
  50 2,7349e-02
  60 2.2842e-02
  70 1,9611e-02
  80 1,7180e-02
  90 1.5286e-02
 100 1,3768e-02
 200 6.9076e-03 
 300 4.6103e-03
 400 3,4597e-03
 500 2,7688e-03
 600 2.3078e-03
 700 1,9785e-03
 800 1.7314e-03
 900 1.5391e-03
1000 1.3853e-03