Quelle est la véritable signification d'un système à phases minimales?

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Quelle est la véritable signification d'un système à phases minimales ? La lecture de l'article Wikipédia et d' Oppenheim est une aide, en ce sens que nous comprenons que pour un système LTI , la phase minimale signifie que l'inverse est causal et stable. (Cela signifie donc que les zéros et les pôles sont à l'intérieur du cercle unitaire), mais qu'est-ce que la "phase" et le "minimum" ont à voir avec cela? Pouvons-nous dire qu'un système est en phase minimale en regardant la réponse en phase de la DFT d'une manière ou d'une autre?

filters filter-design

— TheGrapeBeyond
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Bienvenue dans le traitement du signal! c'est une excellente question. Assurez-vous de lire notre FAQ qui contient de nombreuses informations utiles sur le site.

— Phonon

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La relation entre "minimum" et "phase" dans un système ou filtre à phase minimum peut être observée si vous tracez la phase non enveloppée par rapport à la fréquence. Vous pouvez utiliser un diagramme à pôles zéro de la réponse du système pour vous aider à faire un tracé graphique incrémentiel de la réponse en fréquence et de l'angle de phase. Cette méthode aide à faire un tracé de phase sans discontinuités de wrapping de phase.

Placez tous les zéros à l'intérieur du cercle unitaire (ou dans le demi-plan gauche dans le cas du temps continu), où tous les pôles doivent être également pour la stabilité du système. Additionnez les angles de tous les pôles et le négatif des angles de tous les zéros pour calculer la phase totale jusqu'à un point du cercle unitaire, car ce point de référence de réponse en fréquence se déplace autour du cercle unitaire. Tracer la phase en fonction de la fréquence. Comparez maintenant ce tracé avec un tracé similaire pour un diagramme de pôle zéro avec l'un des zéros échangés en dehors du cercle unitaire (phase non minimale). La pente moyenne globale de la ligne avec tous les zéros à l'intérieur sera inférieure à la pente moyenne de toute autre ligne représentant la même réponse du système LTI (par exemple avec un zéro réfléchi à l'extérieur du cercle unitaire). En effet, les "enroulements" de l'angle de phase sont tous annulés pour la plupart par le "

Cette disposition, tous les zéros à l'intérieur du cercle unitaire, correspond donc à l'augmentation totale minimale de phase, qui correspond au retard de phase total moyen minimum, qui correspond à la compacité maximale dans le temps, pour tout ensemble (stable) de pôles et de zéros avec la même réponse en amplitude de fréquence exacte. D'où la relation entre "minimum" et "phase" pour cet agencement particulier de pôles et de zéros.

Voir également mon ancienne image de mot avec d'étranges poignées de manivelle dans les anciennes archives comp.dsp d'usenet: https://groups.google.com/d/msg/comp.dsp/ulAX0_Tn65c/Fgqph7gqd3kJ

— hotpaw2
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Hmm, intéressant - donc nous POUVONS dire qu'un système est en phase min en regardant la réponse de phase de son DFT alors il ressemble, correct?

— Spacey

@Mohammad: Un problème avec l'utilisation d'un DFT pour la réponse de phase est la phase de déballage, qui peut ou non avoir une solution de formulaire unique ou fermée. (Surtout un problème s'il y a des "discontinuités" dans la réponse impulsionnelle.)

— hotpaw2

@ hotpaw2 Avec le déballage, nous annulons le modulo 2 * pi ou -2 * pi, (deux façons de le faire), mais même alors, je ne pensais pas que ce serait un problème.

— Spacey

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hotpaw- Grande analogie. J'ai un livre qui utilise à la place le principe d'argument d'une analyse complexe. C'est une preuve élégante, mais pas pour les non-mathématiciens.

— Bryan

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@Bryan Cela semble très intéressant. Quel est le titre du livre?

— shamisen

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Comme vous l'avez déjà vu, la phase minimale a de nombreuses significations et implications physiques. D'où vient la phase, c'est que pour une amplitude donnée de réponse en fréquence, elle correspond au filtre qui a le moins de retard de groupe. C'est-à-dire que vous pouvez avoir plusieurs filtres avec la même amplitude de réponse en fréquence, mais l'un d'eux peut être réalisé avec le plus petit retard de filtre. En ce sens, il est hautement souhaitable dans les systèmes de contrôle où le retard de filtrage peut être critique pour la stabilité. J'abuse une notation ici, car la phase "delay" peut avoir plusieurs significations, mais l'essentiel est là (et pour le delay de groupe, c'est un fait).

Dans d'autres domaines, si un système est une phase minimale, son inverse aura tous ses pôles à l'intérieur du cercle unitaire et sera causal. Un système à phase minimale a donc un inverse stable. Ceci est important dans de nombreuses autres applications pour des raisons évidentes. Si vous devez résoudre un système d'équations linéaire, sachant que le système est à phase minimale garantit que son inverse sera la phase minimale, et donc la stabilité est garantie (en dehors de tout effet de quantification).

Il peut ne pas être évident si un système est une phase minimale en regardant la DFT. Il existe une relation entre l'ampleur d'un système à phases minimales et sa phase, mais elle peut ne pas être visuellement évidente. Cependant, les filtres à réseau adaptatifs ont la particularité de pouvoir identifier facilement les filtres de phase minimum si tous les coefficients de réflexion sont inférieurs ou égaux à un en amplitude. De cette façon, les filtres calculés de manière adaptative peuvent être déterminés s'ils sont stables à la volée avec peu de logique.

— Bryan
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J'ajouterais que le critère de stabilité "pôles à l'intérieur du cercle unitaire" est valide pour les systèmes à temps discret, tandis que pour les systèmes à temps continu, vous voudriez que les pôles soient dans la moitié gauche du plan .

s

$s$

— Jason R

Ah oui, excellent point. Pour ceux qui ne sont pas familiers avec la transformation bilinéaire (qui mappe efficacement le plan s de gauche dans le cercle unité sur le plan z), c'est une distinction importante. Merci.

— Bryan

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La "relation" entre l'amplitude logarithmique et la phase minimale est la transformée de Hilbert

— Hilmar

Le filtre de phase minimum semble être IIR, mais à quel point leur phase est-elle minimale par rapport à FIR?

— TheGrapeBeyond

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Il n'y a aucune raison qu'un filtre à phase minimale ne puisse pas être FIR. La seule condition est que tous les zéros du filtre doivent être à l'intérieur du cercle d'unité. Étant donné un filtre à phase non minimale, vous pouvez toujours le transformer en un filtre à phase minimale qui a la même réponse en amplitude en déplaçant tous les zéros à l'extérieur du cercle unitaire vers leur conjugué réciproque. Autrement dit, pour tous les zéros du filtre , si , remplacez par .

z_{i}

$z_i$

| z_{i} | > 1

$|z_i| > 1$

z_{i}

$z_i$

\frac{1}{z_{i}^{*}}

$\frac{1}{z_i^*}$

— Jason R

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\sum_{i = 0}^{k} h [i]^{2} = m i n, k ϵ N

$\sum_{i=0}^{k}h[i]^2 = min, k\epsilon \mathbb{N}$

— Hilmar
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h [n]

$h[n]$

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En train de lire

Cet article semble avoir une certaine sagesse au sujet des systèmes à phases minimales:

John Bechhoefer, « Kramers-Kronig, Bode et la signification de zéro », American Journal of Physics 79 , 10 (2011).

— nibot
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