Résolution d'un problème de convolution d'un signal 1D

J'ai du mal à résoudre cet exercice. Je dois calculer la convolution de ce signal:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{péché (\frac{π t}{dix})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

où $u(t)$ est la fonction Heavyside

eh bien j'ai appliqué la formule qui dit que la convolution de ces deux signaux est égale à

Oui (F) = X (F) \cdot W (F)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

où $X(f)$ est la transformée de Fourier du premier signal et $W(f)$ est la transformée de Fourier du deuxième signal

ainsi la transformée de Fourier de $e^{-kt}u(t)$ est

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

Je dois faire un deuxième signal aussi égal que possible à $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

donc je fais cette opération:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ c'est égal

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

vrai ou pas?

— Mazzy
source

Ça me semble correct. Un avertissement - certaines définitions de sinc incluent pi dans les paramètres, comme vous l'avez fait, et certains l'assument (c'est-à-dire qu'elles auraient écrit sinc (t / 10)). L'un ou l'autre va bien, tant que vous comprenez ce que vous faites.

— Jim Clay

Notez également que la transformée de Fourier inverse de

est le résultat de convolution que vous recherchez. L'utilisation de la dualité entre la convolution dans le domaine temporel et la multiplication dans le domaine fréquentiel ne vous aidera pas nécessairement à déterminer analytiquement le résultat de la convolution si la transformation inverse est difficile à faire.

Y (f)

$Y(f)$

— Jason R

Même si je me rends compte qu'il s'agit d'une réponse très tardive, j'essaierai néanmoins de répondre à cette question car je la trouve instructive et aussi parce que le nombre de votes positifs suggère que cette question présente un intérêt général pour la communauté.

Comme déjà suggéré dans la question, définissons deux signaux et comme $x(t)$ $w(t)$

X (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{péché (π t / dix)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

Une interprétation possible de la convolution est qu'un signal amorti exponentiellement est filtré par un filtre passe-bas idéal avec une réponse impulsionnelle . Dans la question, il a également été correctement souligné que la convolution dans le domaine temporel correspond à la multiplication dans le domaine fréquentiel. L'intégrale de Fourier de peut être facilement calculée: $(x*w)(t)$ $x(t)$ $w(t)$ $x(t)$

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} ré t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

La transformée de Fourier de doit être familière car c'est un filtre passe-bas idéal. Dans la question, il y avait une certaine confusion concernant la définition de la fonction Sinc. Je suggère de simplement me souvenir de la réponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas à gain unitaire avec une fréquence de coupure sans utiliser aucune des définitions de la fonction Sinc: $w(t)$ $\omega_0=2\pi f_0$

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{péché ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

$w(t)$ $w(t)$ $\omega_0=\pi/10$

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$

u (ω)

$u(\omega)$

$y(t)=(x*w)(t)$ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} ré ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} ré ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

$\text{Ei}(x)$ $\text{Si}(x)$ $\text{Ci}(x)$

$y(t)$ $k=0.05$ $\omega_0=\pi/10$ entrez la description de l'image ici

$x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $t<0$ $\omega_0=\pi$ $\pi/10$

entrez la description de l'image ici

— Matt L.
source

Une meilleure interprétation serait peut-être une entrée de fonction sinc appliquée à un filtre passe-bas de premier ordre physiquement réalisable dont la réponse impulsionnelle est l'exponentielle en décroissance?

— Dilip Sarwate

Bien sûr, c'est une autre interprétation valable, mais pourquoi mieux? OK, le système peut être réalisé mais pas le signal d'entrée. Un filtre passe-bas idéal est un système standard qui est souvent analysé et utilisé à des fins pédagogiques même s'il ne peut pas être réalisé. Quoi qu'il en soit, heureusement, le résultat reste le même :)

— Matt L.