Ideal LPF BIBO est-il instable?

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Dans une autre discussion: Comment trouver la réponse en fréquence, la stabilité et la causalité d'un système linéaire?

J'ai trouvé un commentaire assez fort et qui a définitivement attiré mon attention.

Un filtre passe-bas idéal est un exemple d'un système qui n'est pas stable BIBO même si sa réponse en fréquence est limitée pour tous les $f$

Je suis la définition de la stabilité selon ici dans le wiki http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability

Quelqu'un peut-il me prouver qu'un LPF idéal peut en effet être instable BIBO?

Bien sûr, un LPF idéal avec un gain infini peut produire une sortie illimitée. La question est limitée au LPF lorsque le gain est fini.

filters linear-systems

— Dipan Mehta
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Un LPF idéal a une réponse impulsionnelle de la forme qui ne remplit pas la condition nécessaire pour la stabilité de BIBO. Ainsi, la réponse à au signal borné (qui bascule entre et ) est et donc un LPF idéal n'est pas un système stable BIBO.

h (t) = sinc (t)

$h(t) =\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt < \infty$

t = 0

$t=0$

x (t) = sgn (sinc (t))

$x(t) = \text{sgn}(\text{sinc}(t))$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

\int h (- t) x (t) d t = \int h (t) x (t) d t = \int | h (t) | d t = \infty

$\int h(-t)x(t)dt = \int h(t)x(t)dt = \int |h(t)|dt = \infty$

— Dilip Sarwate

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Cette réponse est une réponse à un commentaire du PO sur la réponse de Yoda.

Supposons que , la réponse impulsionnelle d'un système invariant linéaire en temps continu, a la propriété que pour un nombre fini . Ensuite, pour chaque entrée bornée , la sortie est également bornée. Si pour tout où est un nombre fini, alors pour tout où est également un nombre fini. La preuve est simple. $h(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = M

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt = M$

M

$M$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

| x (t) | \leq \hat{M}

$|x(t)| \leq \hat{M}$

t

$t$

\hat{M}

$\hat{M}$

| y (t) | \leq \hat{M} M

$|y(t)| \leq \hat{M}M$

t

$t$

\hat{M} M

$\hat{M}M$

\begin{aligned} | y (t) | & = | \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ | \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) x (t - τ) | d τ \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | \cdot | x (t - τ) | d τ \\ \leq \hat{M} \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | d τ \\ = \hat{M} M . \end{aligned}

$\begin{align*} |y(t)| &= \left |\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t - \tau)\mathrm d\tau\right |\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\cdot|x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \hat{M}\int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \hat{M}M. \end{align*}$ En d'autres termes, est borné chaque fois que est borné.

y (t)

$y(t)$

x (t)

$x(t)$

Ainsi, la condition est suffisant pour la stabilité de BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

La condition est également nécessaire pour la stabilité de BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Supposons que chaque entrée bornée produit une sortie bornée. Considérons maintenant l'entrée . Ceci est clairement délimité, ( pour tout ), et à , il produit une sortie Notre hypothèse que le système est stable BIBO signifie que est nécessairement fini, c'est-à-dire $x(t) = \text{sgn}(h(-t)) ~\forall~ t$ $|x(t)| \leq 1$ $t$ $t=0$

\begin{aligned} y (0) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (0 - τ) x (- τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (- τ) sgn (h (- τ)) d τ & = \int_{- \infty}^{\infty} | h (- τ) | d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t . \end{aligned}

$\begin{align*} y(0) &= \int_{-\infty}^\infty h(0-\tau)x(-\tau)\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty h(-\tau)\text{sgn}(h(-\tau))\mathrm d\tau &= \int_{-\infty}^\infty |h(-\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt. \end{align*}$

y (0)

$y(0)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

La preuve pour les systèmes à temps discret est similaire avec le changement évident que toutes les intégrales sont remplacées par des sommes.

Les LPF idéaux ne sont pas des systèmes stables au BIBO car la réponse impulsionnelle n'est pas absolument intégrable, comme indiqué dans la réponse de Yoda. Mais sa réponse ne répond pas vraiment à la question

Quelqu'un peut-il me prouver qu'un LPF idéal peut en effet être instable BIBO?

Un exemple spécifique d'un signal d'entrée borné qui produit une sortie illimitée à partir d'un LPF idéal (et prouve ainsi que le système n'est pas stable au BIBO) peut être construit comme indiqué ci-dessus (voir aussi mon commentaire sur la question principale).

— Dilip Sarwate
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Une condition nécessaire à la stabilité de BIBO est l'existence de la norme (ou pour les systèmes discrets) de la réponse impulsionnelle. D'après l'article wiki que vous avez cité, $L^1$ $\ell^1$

Pour un système invariant dans le temps linéaire dans le temps continu (LTI), la condition de la stabilité BIBO est que la réponse impulsionnelle soit absolument intégrable, c'est-à-dire que sa norme L1 existe.

$\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = ‖ h (t) ‖_{1} < \infty$ $\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\ dt=\Vert h(t)\Vert_1<\infty$

La réponse impulsionnelle d'un LPF idéal est la fonction , qui n'a que la norme et non la norme . En d'autres termes, n'est pas absolument sommable ou $\text{sinc}$ $L^2$ $L^1$ $\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | sinc (t) | d t = \infty

$\int_{-\infty}^\infty |\text{sinc}(t)|\ dt=\infty$

Par conséquent, un LPF idéal n'est pas stable en BIBO malgré sa réponse en fréquence limitée pour tout . $f$

— Lorem Ipsum
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D'après ce que je pensais, la réponse impulsionnelle était absolument résumable, c'est-à-dire que sa norme L1 existe. est une condition suffisante pour qu'un système soit stable BIBO. Cependant, est-ce une condition nécessaire qui doit être remplie?

— Dipan Mehta

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La transformée de Fourier du lpf idéal est une fonction sinc dans le domaine temporel qui existe de -infini à + infini, donc elle n'est pas causale et l'aire en son sein est infinie, donc illimitée. ..

— pankaj kumar singh
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Bienvenue sur DSP.SE! Merci pour votre réponse, mais je ne pense pas que cela ajoute quoi que ce soit aux réponses existantes. De plus, il n'est pas vrai que l'aire sous la fonction sinc soit illimitée, c'est l'aire sous l' amplitude de la fonction sinc qui est illimitée. Ce dernier provoque l'instabilité du système.

— Matt L.