La pression comme multiplicateur de Lagrange

Dans les équations de Navier-Stokes incompressibles,

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$ le terme de pression est souvent appelé multiplicateur de Lagrange imposant la condition d'incompressibilité.

Dans quel sens est-ce vrai? Existe-t-il une formulation des équations de Navier-Stokes incompressibles en tant que problème d'optimisation soumis à la contrainte d'incompressibilité? Dans l'affirmative, existe-t-il un analogue numérique dans lequel les équations du débit de fluide incompressible sont résolues dans un cadre d'optimisation?

— Ben
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- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Cette équivalence entre problèmes n'est exploitée dans aucun schéma numérique (à ma connaissance) mais c'est un outil important dans l'analyse car elle montre que les équations de Stokes sont essentiellement l'équation de Poisson sur un sous-espace linéaire. Il en va de même pour les équations de Stokes dépendant du temps (qui correspond à l'équation de chaleur sur le sous-espace) et il peut être étendu aux équations de Navier-Stokes.

— Wolfgang Bangerth
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Merci pour une excellente réponse. Savez-vous si cette formulation peut être étendue au cas dépendant du temps?

— Ben

Oui, comme je le dis, cela conduit à une équation de chaleur sur le sous-espace des fonctions libres de divergence.

— Wolfgang Bangerth

Désolé, j'aurais dû être plus clair. Existe-t-il un moyen de refondre les équations de Stokes dépendantes du temps (ou Navier-Stokes) en tant que problème d'optimisation, éventuellement d'une fonction intégrée dans le temps?

— Ben

Pas comme un problème d'optimisation - la solution de l'équation de la chaleur ne minimise rien (bien que ce soit le point stationnaire d'une fonction lagrangienne). Mais vous pouvez formuler les équations de Stokes comme suit: Trouvez sorte que pour tous les sous la contrainte que . Notez que j'ai choisi l'espace d'essai plus petit que l'espace d'essai et donc les côtés gauche et droit de l'équation variationnelle ne seront pas égaux. La différence est la pression.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth