Pourquoi est-il difficile de résoudre numériquement l'équation de Schrödinger dépendante du temps à plusieurs électrons

Il semble que les gens utilisent habituellement l'approximation Single Active Electron (SAE) pour traiter un système à plusieurs électrons, transformant le problème en un seul problème d'électrons. Par exemple, en résolvant numériquement le problème d'un atome d'hélium interagissant avec des champs laser, les gens comprennent généralement l'effet électron-électron par un pseudo-potentiel et résolvent essentiellement le problème d'un électron. Alors pourquoi est-il difficile de résoudre même numériquement l'équation de Schrödinger multi-électronique dépendante du temps? Est-ce bien plus difficile que le problème classique des n-corps? J'ai vu qu'il y a beaucoup d'énormes problèmes classiques de corps résolus numériquement en astronomie même en temps réel, par exemple ici simuler en temps réel une collision de deux galaxies impliquant une interaction de 280000 particules. $n$

pde quantum-mechanics

— xslittlegrass
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Outre la difficulté, il existe également une utilité qui stimule l'innovation. Les problèmes astrophysiques à corps nécessitent une évolution temporelle. D'un autre côté, il y a beaucoup de choses que vous pouvez faire avec un atome multi-électrons qui a peu ou pas de dépendance temporelle, comme trouver des niveaux d'énergie. En d'autres termes, il existe plus d'applications impliquant des états stationnaires pour les atomes que pour les galaxies en collision.

n

$n$

Peut-être, mais je pense que c'est en dehors du point. Même les calculs quantiques stationnaires sont beaucoup plus chers. Mais même dans ce cas, les calculs quantiques en fonction du temps sont très pertinents - ils sont tout simplement trop coûteux à faire dans presque tous les cas pratiques, et cela explique pourquoi cela n'a pas été fait dans le passé.

— Wolfgang Bangerth

Oui, c'est beaucoup plus difficile à faire. Pour le problème du corps , il suffit de calculer les trajectoires qui ne sont que fonctions d'une seule variable. $N$ $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ $N$

En revanche, même pour un seul électron, la solution de l'équation de Schroedinger est une fonction , c'est-à-dire une fonction de quatre variables. Pour deux électrons, vous recherchez une fonction décrivant la fonction d'onde en fonction des emplacements des deux électrons plus le temps. Cela fait sept variables. $\Psi(x,y,z,t)$ $\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

Maintenant, si vous vous souvenez comment résoudre des équations différentielles ordinaires telles que les équations de Newton pour le problème du corps , alors vous devez déplacer chaque équation vers l'avant en passant du temps à et calculer la solution à cet endroit. Donc, si vous divisez votre intervalle de temps en intervalles de longueur alors l'effort pour chaque pas de temps sera utilisant une implémentation naïve des interactions des corps (vous peut utiliser des méthodes pour atteindre effort, mais c'est d'ailleurs le point). $N$ $t$ $t+\Delta t$ $[0,T]$ $M$ $\Delta t=T/M$ $N^2M$ $N$ $N (\log N) M$

D'autre part, pour trouver une fonction de 7 variables, supposons que vous subdivisez l'intervalle de temps en sous-intervalles comme ci-dessus, mais que vous faites également la même chose pour les 6 coordonnées spatiales. Ensuite, il y a un total de points de grille à considérer. Et en général, pour un système quantique à corps, vous avez . $M$ $M^7$ $N$ $M^{3N+1}$

Il est maintenant facile de vérifier que même pour des nombres assez petits , l'effort est largement supérieur à , ce qui explique pourquoi les calculs quantiques à corps multiples sont tellement plus coûteux à faire que corps mécanique classique. $N,M$ $M^{3N+1}$ $N^2M$ $N$

— Wolfgang Bangerth
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Très bonne réponse. Je voudrais seulement mentionner que, tout comme il existe des méthodes plus rapides que le naïf pour les équations de Newton, il existe également des méthodes plus rapides que le naïf pour l'équation de Schrödinger.

N^{2} M

$N^2 M$

M^{3 N + 1}

$M^{3N+1}$

— Ondřej Čertík

Oui en effet. Mais dans l'ensemble, vous ne pouvez pas vous débarrasser de la complexité combinatoire.

— Wolfgang Bangerth