Où puis-je trouver une bonne référence pour les propriétés de stabilité de plusieurs méthodes de résolution des PDE paraboliques?

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En ce moment, j'ai un code qui utilise l'algorithme Crank-Nicholson, mais je pense que je voudrais passer à un algorithme d'ordre supérieur pour l'horodatage. Je sais que l'algorithme de Crank-Nicholson est stable dans le domaine dans lequel je veux travailler, mais je crains que certains autres algorithmes ne le soient pas.

Je sais comment calculer la région de stabilité d'un algorithme, mais cela peut être une sorte de douleur. Quelqu'un connaît-il une bonne référence pour les propriétés de stabilité d'un grand nombre d'algorithmes de dépassement de temps pour les PDE paraboliques?

pde stability parabolic-pde

— Dan
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Mon livre préféré est le livre de John Strikwerda, "Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations" .

Il a un très bon traitement de la théorie de la stabilité en utilisant l'analyse de Fourier. Je n'ai que la première édition, où il n'introduit pas l'idée d'une région de stabilité. Selon le site Internet du SIAM, la deuxième édition a ajouté ce matériel.

— John Stockie
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Réponse très courte: pour une référence complète, vous ne pouvez pas battre Hairer et Wanner volume II .

Réponse courte: voici quelques scripts MATLAB pour tracer la région de stabilité d'une méthode linéaire à plusieurs étapes ou Runge-Kutta , compte tenu des coefficients. Vous pouvez également utiliser le package Python nodepy (avertissement: c'est mon package et ce n'est pas le logiciel le plus raffiné , mais tracer des régions de stabilité est une chose qu'il fait très bien). Les instructions pour tracer les régions de stabilité sont ici .

Réponse plus longue: il existe trois classes de méthodes qui pourraient vous intéresser ici.

$A$ $A$ -la stabilité. Quelques exemples de telles méthodes sont les méthodes de Gauss-Legendre, Radau et Lobatto. Tous ces éléments sont totalement implicites et donc assez chers.
$A(\alpha)$ ode15s() $\alpha$
Méthodes explicites , qui ne comprendront nécessairement qu'un intervalle fini sur l'axe réel négatif. Il existe des méthodes explicites "stabilisées" spéciales (en particulier, les méthodes de Runge-Kutta-Chebyshev ) qui ont de grandes régions de stabilité d'axe réel négatif et conviennent aux problèmes légèrement raides, mais généralement pas aux problèmes paraboliques. Une bonne entrée dans cette littérature est cet article , qui contient de nombreuses informations sur les régions de stabilité.

$L$ $L$

Mise à jour : Si vous avez vraiment besoin de tout savoir sur ce sujet, obtenez une copie de la monographie de Dekker et Verwer . Il présente l'une des meilleures introductions existantes à des concepts tels que les constantes de Lipschitz unilatérales, la norme logarithmique et plusieurs concepts de stabilité plus profonds. Il est épuisé, mais vous pouvez généralement trouver des copies utilisées sur Amazon (pour un prix!)

— David Ketcheson
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Hairer II est définitivement le meilleur. C'est probablement le seul endroit où trouver l'adaptabilité PI stepize pour obtenir une mention. Mais il manque des détails importants comme des conditions de commande supplémentaires pour les méthodes de Rosenbrock sur les PDE paraboliques par exemple. Bien sûr, aucun livre ne peut tout avoir, mais il devrait y avoir quelque chose de mieux spécifiquement sur le sujet des EDP paraboliques.

— Chris Rackauckas