grille uniforme vs non uniforme

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Il s'agit probablement d'une question de niveau étudiant, mais je ne peux pas vraiment m'arranger. Pourquoi est-il plus précis d'utiliser des grilles non uniformes dans les méthodes numériques? Je pense dans le contexte d'une méthode de différence finie pour l'EDP de la forme . Et supposons que je suis intéressé par une solution au point . Donc, je peux voir que si j'approximation de la dérivée seconde, par exemple sur une grille uniforme en utilisant une approximation en trois points, l'erreur est de second ordre . Ensuite, je peux construire une grille non uniforme via une cartographie et trouver des coefficients pour les trois points qui sont utilisés pour approximer la dérivée. Je peux faire les expansions de Taylor et obtenir à nouveau une borne pour que la dérivée soit un second ordre , où $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $x^{\ast}$ $O(h^2)$ $O(h^2)$ $h$ est la distance sur une grille uniforme à partir de laquelle j'ai obtenu le mappage sur une grille non uniforme. Les deux estimations contiennent des dérivées et je ne comprends pas pourquoi la solution serait plus précise sur une grille non uniforme car elle dépend de la magnitude des dérivées correspondantes dans les estimations d'erreur.

pde finite-difference

— Kamil
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La justification des maillages non uniformes est la suivante (toutes les équations sont considérées comme qualitatives, c'est-à-dire en général vraies mais sans prétendre l'être de manière prouvée en toutes circonstances et pour toutes les équations ou toutes les discrétisations possibles):

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)} \leq C h_{max}^{2} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (Ω)},

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq C h_{max}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq C \sum_{K \in T} h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$

K

$K$

T

$\mathbb T$

h_{max}

$h_\text{max}$ . Au contraire, la stratégie la plus efficace consistera à équilibrer les contributions d'erreur au niveau des - en d'autres termes, vous devriez choisir En d'autres termes, le maillage local doit être petit lorsque la solution est grossière (a de grandes dérivées) et grand lorsque la solution est lisse, et la formule ci-dessus fournit une mesure quantitative de cette relation.

h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2}

$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$

h_{K} \propto ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{- 1 / 2} .

$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$

h_{K}

$h_K$

— Wolfgang Bangerth
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J'ajouterais que l'anisotropie est représentée le plus efficacement avec un espace ansatz anisotrope (c'est-à-dire un maillage anisotrope). Étant donné que l'anisotropie peut ne pas être alignée avec un maillage grossier initial, un algorithme AMR isotrope peut être très inefficace. L'anisotropie pose des problèmes supplémentaires car de nombreuses méthodes ne sont pas uniformément stables en ce qui concerne le rapport d'aspect.

— Jed Brown

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Prouvez-le vous-même avec cet exemple. Quelle est l'erreur maximale lors de l'interpolation sqrt (x) sur l'intervalle [0,1] avec une interpolation linéaire par morceaux sur un maillage uniforme?

Quelle est l'erreur maximale lors de l'interpolation sur un maillage dans lequel le ième de n points est donné par (i / n) ^ s, et s est un paramètre de classement de maillage soigneusement choisi?

— Rob Schreiber
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h_{i}

$h_i$

h_{i}

$h_i$

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$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$ $D(x)$ $D(x)$

$u(x,0)$

— Thomas Klimpel
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pourriez-vous préciser, quelles sont les autres techniques que vous utiliseriez pour avoir un "regard" plus attentif sur les régions de discontinuités sur les données initiales, par exemple?

— Kamil

@Kamil J'ai deux choses en tête ici. La première chose à faire est de calculer la projection des données initiales dans la "représentation utilisée sur la grille" avec une précision suffisante. (Cela comprend généralement des choses comme le suréchantillonnage ou de simples calculs analytiques lors des discontinuités de saut.) Je sais que c'est juste un bon style et trop simple pour le mentionner, mais d'après mon expérience, c'est souvent tout ce qui est nécessaire pour résoudre les problèmes causés par les singularités dans les données d'entrée.

— Thomas Klimpel

L'autre chose à laquelle je pense est de modéliser une partie des données d'entrée en tant que conditions aux limites. Cependant, les économies qui en découlent sont souvent inférieures à un facteur deux, et les conditions aux limites sont notoirement difficiles à obtenir correctement, du moins d'après mon expérience. Je dirais donc que cela ne vaut souvent pas la peine de le faire parfaitement (ou ne vaut la peine que si l'extension correspondante du problème dans cette direction est vraiment petite, ou si vous voulez vraiment une grande précision), et en sélectionnant à peu près la bonne condition aux limites et placer la limite suffisamment loin fonctionne souvent assez bien.

— Thomas Klimpel

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Kamil, la résolution d'équations différentielles est globale, l'interpolation est locale. En interpolation polynomiale par morceaux, la précision loin de la singularité ne sera pas gênée par la singularité. Malheureusement, ce n'est pas du tout vrai pour résoudre une équation elliptique, comme un problème de valeur limite à deux points. La singularité polluera l'approximation globalement.

Voici quelque chose à essayer. Résoudre D (sqrt (x) Du) sur [0,1] avec Dirichlet bcs homogène D est l'opérateur de différenciation. Utilisez des éléments finis ou des différences finies sur un maillage uniforme à n points. Comparez avec un maillage dans lequel le ième point est (1 / n) ^ 1,5. Notez que la pire erreur pour le maillage uniforme est loin de la singularité, et beaucoup plus grande que pour le maillage gradué.

— Rob Schreiber
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