Existe-t-il des raccourcis pour les systèmes d'approximation numérique d'équations différentielles ordinaires lorsqu'ils sont autonomes?

Les algorithmes existants pour résoudre les ODE gèrent les fonctions , oùy∈Rn. Mais dans de nombreux systèmes physiques, l'équation différentielle est autonome, doncd$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$,y∈Rn, sanst. Avec cette hypothèse simplificatrice, quelles améliorations peuvent être observées dans les méthodes numériques existantes? Par exemple, sin=1, le problème se transforme ent=∫d$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$ et nous nous tournons vers une classe entièrement différente d'algorithmes pour intégrer les intégrales unidimensionnelles. Pourn>1, l'amélioration maximale possible consiste à réduire la dimension deyde 1, car le cas dépendant du temps peut être simulé en ajoutanttày, en changeant le domaine deydeRnàRn+1.$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$$t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

Je dirais qu'une amélioration significative est que dans le cadre des approches à pas de temps, où vous propagez $y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$ utilisant une carte de solution $\mathcal{U}$ , vous pouvez déterminer le propagateur (ou au moins des parties de it) une fois, puis réutilisez-le à chaque pas de temps.

Par exemple, dans le cas linéaire, vous auriez $\partial_t y = A y$ , où $A$ est une matrice. L'opérateur de solution $\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$ est principalement constitué d'une exponentielle matricielle. Pour les systèmes autonomes, cette évaluation exponentielle de matrice coûteuse n'est requise qu'une seule fois pour la propagation complète - contrairement à un système dépendant du temps, où vous devez effectuer cette évaluation à chaque pas de temps.

Pour les systèmes non linéaires, ce n'est pas si simple, mais selon l'algorithme, certaines évaluations coûteuses peuvent être réutilisées.