-convergence de la méthode des éléments finis lorsque le côté droit est uniquement en(éqn de Poisson)

Je sais que l'approximation par éléments finis linéaire par morceaux $u_h$ de

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

Question: Si , avons-nous l'estimation analogue suivante, dans laquelle une dérivée est supprimée des deux côtés: $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

pouvez vous fournir des références?

Réflexions: Puisque nous avons encore , il devrait être possible d'obtenir une convergence dans . Intuitivement, cela devrait même être possible avec des fonctions constantes par morceaux. $u\in H^1_0(U)$ $L^2(U)$

— Bananach
source

Je pense que vous obtenez de l'astuce Nitsche standard même pour . Vous pouvez le trouver par exemple dans Braess - Éléments finis.

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$

u \in H^{1}

$u \in H^1$

— knl

$L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ En utilisant la régularité standard de l'équation de Poisson, nous savons que

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

L'insertion de dans et l'utilisation de l'orthogonalité de Galerkin pour tout élément fini (dans votre cas, linéaire par morceaux) avec fonction donne l'estimation Comme cela vaut pour tout , l'inégalité est toujours vraie si nous prenons l'infimum sur tout linéaire par morceaux . On obtient donc $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ C'est le Aubin-Nitsche-Lemma .

L'étape suivante consiste maintenant à utiliser des estimations d'erreur standard pour la meilleure approximation par éléments finis des solutions à l'équation de Poisson. Puisque n'est que dans , nous n'obtenons pas une meilleure estimation que Mais heureusement, nous pouvons utiliser le fait que a une régularité plus élevée depuis le côté droit au lieu de . Dans ce cas, nous avons Insertion de et dans $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ donne maintenant l'estimation souhaitée.

(Notez que les estimations standard nécessitent que le degré polynomial de l'approximation des éléments finis et l'exposant de Sobolev de la vraie solution satisfassent , donc cet argument ne fonctionne pas pour une approximation constante par morceaux ( ). Nous avons également utilisé - c'est-à-dire que nous avons une approximation conforme - ce qui n'est pas vrai pour les constantes par morceaux.) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

Puisque vous avez demandé une référence: vous pouvez trouver une déclaration (même pour les espaces de Sobolev négatifs au lieu de ) dans le théorème 5.8.3 (avec le théorème 5.4.8) dans $H^{-s}$ $L^2$

Susanne C. Brenner et L. Ridgway Scott , MR 2373954 La théorie mathématique des méthodes des éléments finis , Textes en mathématiques appliquées ISBN: 978-0-387-75933-3.

— Christian Clason
source

Et je peux utiliser notre nouvelle fonctionnalité de citation brillante :)

— Christian Clason

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

Merci pour la mise à jour complète. Et pour avoir trouvé une autre citation brillante

— Bananach

v_{h}

$v_h$