Comment puis-je dériver une limite sur les oscillations parasites dans la solution numérique de l'équation d'advection 1D?

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Supposons que j'ai eu le problème d'advection périodique 1D suivant:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ in $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
où $g(x)$ a une discontinuité de saut à $x^*\in (0,1)$ .

Je crois comprendre que pour les schémas linéaires de différences finies supérieurs au premier ordre, des oscillations parasites se produisent près de la discontinuité au fur et à mesure qu'elle est advectée au fil du temps, entraînant une distorsion de la solution par rapport à sa forme d'onde attendue. Selon l' explication de Wikipédia , il semble que ces oscillations se produisent généralement lorsqu'une fonction discontinue est approchée avec une série de Fourier finie.

Pour une raison quelconque, je n'arrive pas à comprendre comment une série de Fourier finie peut être observée dans la solution de ce PDE. En particulier, comment puis-je estimer analytiquement une limite sur le "dépassement"?

pde finite-difference advection

— Paul
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La méthode au vent de premier ordre est monotone; il n'introduit pas d'oscillations parasites. Mais il n'est précis que du premier ordre, ce qui entraîne une diffusion numérique telle qu'il est inutilisable à de nombreuses fins. Le théorème de Godunov déclare que les discrétisations spatiales linéaires de niveau supérieur au premier ordre ne peuvent pas être monotones. Pour contrôler rigoureusement les oscillations, nous utilisons des schémas de réduction de variation totale (TVD) . Les méthodes TVD sont généralement limitées à une précision de second ordre. Pour un ordre plus élevé, nous devons soit assouplir notre demande, ce qui conduit à des méthodes de variation totale bornée (TVB) comme (pondérées) essentielles non oscillatoires ((W) ENO), soit assouplir la définition de TVD à "préservation du principe maximal" ou similaire, où les extrema initiaux sont en termes d'une solution reconstruite initiale, résultant enrégimes spéciaux de limitation .

— Jed Brown
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Mes excuses ... pour une raison quelconque, j'ai eu l'impression que c'était également le cas pour le premier ordre. J'ai modifié la question pour refléter ce commentaire.

— Paul

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La discrétisation linéaire par différence finie d'un problème 1D à frontières périodiques conduit à une discrétisation de la forme

U^{n + 1} = L U^{n}

$U^{n+1} = LU^n$

où est une matrice circulante . Les vecteurs propres de toute matrice circulante sont des modes de Fourier discrets (ici est l'espacement de la grille et est le nombre d'onde, qui va de zéro au plus grand nombre d'onde représentable sur la grille). Ces vecteurs propres constituent la base de toutes les fonctions qui peuvent être représentées sur la grille. Si vous exprimez la solution en termes de ces modes de Fourier discrets, alors la méthode numérique est diagonalisée, c'est-à-dire que chaque composante de Fourier est multipliée par un facteur scalaire (généralement complexe) à chaque étape. Le facteur scalaire est souvent appelé facteur d'amplification, et ce que je viens de décrire est connu sous le nom d' analyse de von Neumann $L$

v_{j} = \exp (i j h ξ)

$v_j = \exp(ijh\xi)$

h

$h$

ξ

$\xi$ . Elle est analogue à l'analyse de Fourier des PDE linéaires, dans laquelle on utilise une base de Fourier, pour "diagonaliser" les opérateurs différentiels linéaires.

Vous pouvez trouver de belles explications, par exemple, dans le texte de Strikwerda ou LeVeque .

— David Ketcheson
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Je connais l'analyse de von neumann. Mais puis-je vraiment utiliser cette analyse pour dériver une limite sur les oscillations parasites?

— Paul

Je répondais principalement à votre déclaration, je n'arrive pas à comprendre comment une série de Fourier finie peut être observée dans la solution de ce PDE. Mais oui, vous pouvez obtenir de telles limites à partir de cette analyse. Par exemple, vous pouvez regarder le pire scénario dans lequel tous les modes interfèrent de manière constructive. Cependant, il s'agit probablement d'une limite très pessimiste. En pratique, je n'ai vu personne dériver des limites autres que TVD ou TVB (qui sont assez fortes et ne tiennent pas pour les schémas linéaires).

— David Ketcheson

Vous pourriez probablement obtenir une limite plus intéressante en regardant la relation de dispersion pour les modes de nombre d'ondes les plus élevés. Mais je ne l'ai jamais vu faire.

— David Ketcheson,

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Toutes les oscillations parasites ne sont pas des phénomènes de Gibbs. Ils se ressemblent, mais il existe des oscillations de Gibbs pour toutes les approximations de Fourier finies des fonctions discontinues (elles deviennent juste plus petites à mesure que vous ajoutez des termes). Alors qu'il existe des représentations non oscillatoires de fonctions discontinues résultant de la solution d'approximations aux différences finies aux PDE qui ne nécessitent pas de séries infinies.

Bathe ( Inf – sup testing of upwind methods , PDF) a un article à ce sujet pour les méthodes par éléments finis (convection-diffusion, IIRC) en 1-D qui implique de calculer la constante pour la condition - et de la relier aux oscillations . Vous pourriez en tirer un aperçu. $\inf$ $\sup$

— Bill Barth
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Ceci est un document utile, mais notez que la stabilité inf-sup ne fournit pas un contrôle fort des oscillations. Aucune stabilité inf-sup ne peut fournir une méthode TVD, par exemple. Et à la lumière du théorème de Godunov, cela n'a aucun sens d'aller chercher des discrétisations spatiales linéaires si nous avons l'intention d'avoir des solutions non oscillatoires de plus grand que le premier ordre. Notez que le numéro de Peclet apparaît dans toutes les méthodes de cet article et que les méthodes se dégradent en une précision de premier ordre sous la forme , tout en n'étant pas TVD.

P e \to \infty

$\mathrm{Pe}\to \infty$

— Jed Brown

Ce sont toutes de véritables déclarations. Elle ne s'applique vraiment qu'aux problèmes de convection-diffusion.

— Bill Barth

2

Quant à votre dernière question sur la connexion entre les séries de Fourier finies et l'approximation des éléments finis: En général, si vous essayez de projeter une fonction avec un saut sur un espace de dimension finie dont les fonctions de base sont continues, vous obtenez le phénomène de Gibbs. Cela est vrai si la base est une série de Fourier finie (où les fonctions de base sont les sinus et les cosinus) ou si la base est les fonctions de chapeau d'éléments finis habituelles - c'est une propriété de la projection plus l'inadéquation des fonctions de base.

— Wolfgang Bangerth
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Je suis heureux d'avoir tort, car je suis clairement hors de pratique, mais je n'achète pas votre commentaire sur les projections sur les fonctions de chapeau sans autre qualification. Mon calcul rapide en utilisant mon ancien code MATLAB 1-D de ma classe FEM de première année montre que la projection de la fonction de pas sur utilisant les fonctions de chapeau n'est pas oscillatoire. Avez-vous un exemple qui peut montrer ce qui me manque?

H_{0}^{1}

$H_0^1$

— Bill Barth

Ça ne fait rien. L'ancien code est vieux. Je peux reproduire des oscillations. Le commentaire précédent s'est rétracté.

— Bill Barth

Je suis content d'avoir pu aider :-)

— Wolfgang Bangerth

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Une approche consiste à utiliser l'équation équivalente, c'est-à-dire l'équation différentielle à laquelle votre méthode discrète donne l'approximation la plus proche. Ce n'est jamais l'équation différentielle que vous aviez l'intention de résoudre. Ensuite, vous regardez la solution asymptotique de l'équation équivalente, pour une fonction de pas comme données initiales. Regardez Bouche, D., Bonnaud, G. et Ramos, D., 2003. Comparaison des schémas numériques pour résoudre l'équation d'advection. Lettres de mathématiques appliquées, 16 (2), pp.147-154.

— Philip Roe
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