Schémas implicites de différences finies pour l'équation d'advection

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Il existe de nombreux schémas FD pour l'équation d'advection discuter sur le web. Par exemple ici: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html $\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Mais je n'ai vu personne proposer un schéma de remontée "implicite" comme celui-ci: . $\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Tous les schémas au vent que j'ai vus traitaient de données sur le pas de temps précédent dans la dérivée spatiale. Quelle est la raison de ceci? Comment le schéma au vent classique se compare-t-il à celui que j'ai écrit ci-dessus?

finite-difference implicit-methods advection

— tiam
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Il est assez courant dans la dynamique des fluides de calcul d'utiliser des schémas implicites similaires à ce que vous proposez. Celles que je connais sont basées sur des formules compactes de différences finies (pas simplement sur le remplacement de par dans les schémas existants). Par exemple, l'un des schémas les plus largement utilisés a été développé par Lele en 1992 dans cet article avec> 2500 citations. De tels schémas peuvent être conçus pour avoir de meilleures propriétés dispersives que les schémas explicites typiques. $n$ $n+1$

La remontée est généralement moins importante lors de l'utilisation de méthodes implicites et de grandes tailles de pas de temps, car l'énorme quantité de diffusion (mentionnée par Jeremy) signifie que vous ne pouvez pas résoudre les chocs de toute façon.

Concernant le schéma particulier que vous proposez:

Elle peut être obtenue à partir d'une discrétisation par méthode de lignes en utilisant une différence en arrière dans l'espace et la méthode en arrière (implicite) d'Euler dans le temps.
Il est inconditionnellement stable tant que (intéressant, il est également stable pour si le pas de temps n'est pas trop petit !) $u\ge0$ $u<0$
Il est plus dissipatif que le schéma explicite traditionnel au près.
Contrairement au schéma explicite en amont, il ne satisfait pas à la condition CFL unitaire (c'est-à-dire qu'il n'est pas exact dans le cas où ). Au lieu de cela, il satisfait la condition CFL anti-unité (elle est exacte si ). $\tau u/h = 1$ $\tau u/h = -1$

— David Ketcheson
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Bon point sur les schémas compacts, ce sont certainement une classe importante de schémas implicites! Aussi,

— je

Je me demande, si

est également sujet à changer sur

et se trouve donc à l'intérieur de la dérivée spatiale (nous obtenons ainsi l'équation de continuité si nous prenons

au lieu de

), un simple schéma au vent est-il toujours correct?

u

$u$

x

$x$

ρ

$\rho$

T

$T$

— tiam

C'est bien s'il peut traiter des vitesses négatives, car cela pourrait être le cas dans mon problème.

— tiam

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Il n'y a aucune raison pour que vous ne puissiez pas faire ce que vous avez écrit. L'une des raisons pour lesquelles cela est rare est que pour les problèmes de type hyperbolique (advection), le domaine de la dépendance est fini. Ainsi, une méthode explicite a un sens du point de vue de l'efficacité de calcul.

Le schéma implicite que vous avez écrit nécessitera la résolution d'un système linéaire, bien que dans le cas où vous avez écrit triangulaire, et donc assez simple à résoudre. Bien sûr, lorsque vous passez à des systèmes et à plusieurs dimensions, le système ne sera probablement pas triangulaire, bien que cela puisse parfois entraîner un ordre correct de vos inconnues (voir par exemple Kwok et Tchelepi, JCP 2007 et Gustafsson et Khalighi, JSC, 2006 ).

Parfois, dans l'espoir de prendre des pas de temps importants, les gens utiliseront le pas de temps implicite comme vous l'avez écrit, mais vous devez être prudent ici. Lorsque vous utilisez une méthode implicite, vous introduirez une grande quantité de diffusion ainsi vous étalerez votre solution de manière significative.

— Jeremy Kozdon
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x

$x$