Comment imposer des conditions aux limites dans les méthodes de différences finies

J'ai un problème lorsque je souhaite utiliser l'approximation de différence de centre d'ordre élevé:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

pour l'équation de Poisson

dans un domaine carré dans lequel les conditions aux limites sont:

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Lorsque je veux obtenir la valeur des points intérieurs du domaine, compte tenu de cette approximation, certains points dépendent des points extérieurs de la frontière. Par exemple, doit avoir la valeur de un point qui est en dehors de la frontière. Quelqu'un peut-il m'aider dans ce cas? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— liona
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Je suppose que vous utilisez des conditions aux limites dirichlet, n'est-ce pas?

— Paul

Veuillez indiquer les conditions aux limites que vous souhaitez imposer.

— David Ketcheson

Peut-être que la clé réside dans l'utilisation des conditions aux limites pour obtenir des contraintes impliquant ces valeurs. Je ne peux pas développer car je n'ai jamais essayé de résoudre numériquement un PDE, mais cette idée fonctionne pour les ODE. Quelqu'un peut-il confirmer cela?

— astrojuanlu

Avec des méthodes d'ordre élevé, il peut être difficile d'assurer la stabilité de la méthode en remplissant les cellules fantômes de cette façon. Cela dit, les problèmes elliptiques sont généralement plus indulgents de mon expérience, vous pourriez donc être en mesure de vous en tirer.

— Jeremy Kozdon

liona, vous pouvez éditer votre question et y ajouter les conditions aux limites, ce qui est bien mieux que de les mettre en commentaires.

— David Ketcheson

Réponses:

Vous voudrez peut-être examiner les méthodes de différence finie par sommation par parties (SBP). Ken Mattsson a fait beaucoup de travail sur ces méthodes. Un bon point de départ est ici (coefficients constants) et ici (coefficients variables).

Fondamentalement, la façon dont ces méthodes fonctionnent est qu'elles sont les méthodes centrales standard à l'intérieur et la transition vers un côté près de la frontière. Une partie importante de la technologie SBP est que la transition vers un côté est telle que la stabilité de la méthode pour les problèmes dépendants du temps peut être prouvée même après l'inclusion des conditions aux limites. (Ceci est possible parce que les opérateurs eux-mêmes "définissent" une norme, qui imite discrètement l'intégration par parties.)

Vous dites que vous regardez l'équation de Poisson, je ne sais pas vraiment comment les conditions aux limites sont incluses de manière stable avec les opérateurs SBP et les équations elliptiques. J'ai un collègue qui a joué avec ces problèmes elliptiques et semble indiquer que ce que vous faites n'a pas vraiment d'importance.

— Jeremy Kozdon
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Il existe d'autres gabarits que vous pouvez utiliser pour obtenir une précision d'ordre élevée près des points limites. Votre pochoir actuel se présente sous la forme:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Mais, vous pouvez également utiliser un gabarit différent près de la frontière comme ceci:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$

De même, vous pouvez approximer la valeur à la frontière opposée par une formule similaire.

— Paul
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u_{1, 1}

$u_{1,1}$

Comment puis-je obtenir les coefficients?

— liona

Pour comprendre comment dériver des formules de différences finies, une bonne référence est le chapitre 1 du livre de Leveque: faculty.washington.edu/rjl/fdmbook . Cela revient à une série de Taylor et un peu d'algèbre.

— David Ketcheson

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

s'il vous plaît voir mon papier fdm que vous pouvez trouver dans researchgate sous mon nom david Edwards jr. si vous avez des questions, je serais heureux de vous aider.

David

— David
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Donner simplement des instructions aux gens pour chercher ailleurs n'est pas une réponse utile. Au minimum, vous devez fournir un résumé de la réponse ici et fournir un lien vers plus de détails. De plus, beaucoup d'entre nous ne sont pas d'accord avec la façon dont ResearchGate est exécuté et évitent donc toutes les interactions avec ce site, ce qui rend impossible de voir votre document avec la méthode que vous avez suggérée.

— Doug Lipinski

Veuillez réviser votre réponse pour inclure un résumé des antécédents qui, selon vous, sont nécessaires pour répondre à la question. Les réponses sont censées être relativement autonomes; renvoyer un lecteur à la recherche de son article n'est pas autonome et est beaucoup moins utile que de fournir un résumé de son contenu.

— Geoff Oxberry