Comment gérer la condition aux limites incurvées lors de l'utilisation de la méthode des différences finies?

J'essaie d'apprendre à résoudre numériquement la PDE par moi-même.

Je commence avec la méthode des différences finies (FDM) depuis un certain temps parce que j'ai entendu dire que FDM est le fondement de nombreuses méthodes numériques pour PDE. Jusqu'à présent, j'ai une compréhension de base de FDM et j'ai pu écrire des codes pour un PDE simple situé dans la région régulière avec les documents que j'ai trouvés dans la bibliothèque et Internet, mais ce qui est étrange, c'est que ces documents que je possède parlent généralement peu sur le traitement des limites irrégulières, courbes et étranges, comme ceci .

De plus, je n'ai jamais vu un moyen facile de gérer la frontière incurvée. Par exemple, le livre Numerical Solution of Partial Differential Equations - An Introduction (Morton K., Mayers D) , qui contient la discussion la plus détaillée (principalement en 3.4 de p71 et 6.4 de p199) que j'ai vu jusqu'à présent, est devenu une extrapolation qui est vraiment lourde et frustrante pour moi.

Donc, comme le titre le demandait, en ce qui concerne la limite incurvée, généralement comment les gens la gèrent-ils lorsqu'ils utilisent FDM? En d'autres termes, quel est le traitement le plus populaire? Ou cela dépend du type de PDE?

Existe-t-il un moyen (au moins relativement) élégant et de haute précision de traiter la limite incurvée? Ou c'est juste une douleur inévitable?

Je veux même demander, est-ce que les gens utilisent actuellement FDM pour les limites incurvées? Sinon, quelle est la méthode courante pour cela?

Toute aide serait appréciée.

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
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Réponses:

Répondant d'abord à votre dernière question, les gens utilisent-ils réellement FDM pour les limites incurvées de nos jours, je dirais que la réponse est non. Dans le monde commercial des CFD, les schémas de volumes finis précis du deuxième ordre sont de facto la norme de l'industrie. Un des avantages de FV (et des approches par éléments finis / galerkines discontinues mentionnées par Jed) par rapport à FD est la gestion beaucoup plus naturelle des frontières complexes. FD fournit la base de nombreuses méthodes numériques (FV inclus) et il est nécessaire d'apprendre dans un premier temps, mais il n'est pas recommandé pour les problèmes complexes à grande échelle.

$(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$ . Ensuite, on peut réécrire des termes comme

\frac{\partial u}{\partial X} = \frac{\partial u}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial X} + \frac{\partial u}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial X}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

Je dirais que cette approche de grille ajustée au corps est le "traitement le plus populaire" pour traiter les limites incurvées dans FD, avec la mise en garde que les méthodes FD elles-mêmes ne sont plus très "populaires" pour les applications complexes. Il est rare de les voir apparaître dans la littérature CFD, sauf dans des domaines très simples.

— Aurelius
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Votre affirmation "je dirais que la réponse est non" n'est pas correcte. Visbal et Gaitonde fonctionnent intensivement avec FD d'ordre supérieur dans le code FDL3DI . En outre, le code OVERFLOW de la NASA est un code FD (pour autant que je sache / peux dire).

— Brian Zatapatique

OVERFLOW était à l'origine purement FD, mais maintenant il utilise généralement le fractionnement de flux FV (AUSM, HLLC, etc., dans le Ch 1 de votre lien.) C'est aussi définitivement du code "hérité". Ce lien FDL3DI provient d'un travail dans les années 90 lorsque le travail basé sur les éléments finis / DG d'ordre élevé était à ses balbutiements et qu'il n'existait aucun schéma de volumes finis viable et précis d'ordre élevé. Je pense que vous auriez du mal à convaincre quelqu'un en 2013 de commencer le développement d'un code basé sur la stratégie de différence finie compacte de ce travail. Aussi élégant soit-il, il est très contraignant pour les applications.

— Aurelius

Je suis en quelque sorte en désaccord avec la généralité de votre déclaration selon laquelle il n'est pas conseillé d'utiliser FD pour des problèmes complexes à grande échelle. De nos jours, les gens de HPC ont tendance à refondre leurs schémas d'éléments finis à la manière d'un gabarit et à utiliser des grilles (semi) structurées pour implémenter efficacement des solveurs sans matrice pour le calcul à grande échelle. Ainsi, aussi démodées soient-elles, les gens veulent toujours utiliser des différences finies. Sans oublier qu'il existe des applications où vous pouvez vous en sortir avec des maillages structurés. Pour les géométries complexes, FD standard est douloureux et c'est peut-être ce que vous vouliez dire.

— Christian Waluga

Pour les géométries courbes simples, le FD d'ordre élevé l'emportera sur les méthodes de différence / volume spectral d'ordre élevé, de reconstruction de flux ou de DG sur une base d'efficacité (précision / temps). Pour les complexes, la génération de grille peut être un casse-tête suffisant pour vous faire essayer des approches alternatives. Il ne faut pas oublier que la très grande flexibilité des méthodes susmentionnées a un coût considérable, voir cet article de Loehner . C'est une des raisons pour lesquelles FDL3DI et OVERFLOW continuent d'être utilisés.

— Brian Zatapatique

@ChristianWaluga oui, c'est essentiellement ce que j'essayais de dire. De toute évidence, les idées FD trouvent leur chemin dans d'autres applications (par exemple, les gradients dans FV étant calculés par des différences finies), et dans certains domaines comme le DNS sur des géométries simples, vous les voyez utilisés. Mais pour les codes à usage général, la tendance au cours des 2 dernières décennies a été assez claire loin de la FD pure.

— Aurelius

Les frontières courbes sont couvertes dans la plupart des livres CFD, par exemple, le chapitre 11 de Wesseling ou le chapitre 8 de Ferziger et Peric .

Bien qu'il ne s'agisse pas d'un problème théorique fondamental, la complexité pratique de la mise en œuvre de conditions aux limites pour des méthodes d'ordre élevé sur des frontières courbes est une raison importante de l'intérêt pour des méthodes plus flexibles sur le plan géométrique telles que la méthode des éléments finis (y compris Galerkin discontinu). Les grilles de différences finies structurées et de volumes finis sont toujours utilisées dans certaines simulations CFD, mais les méthodes non structurées gagnent en popularité et les opérations locales utilisées par les méthodes non structurées d'ordre élevé sont en fait assez efficaces, et peuvent donc ne pas subir beaucoup de perte d'efficacité par rapport à des FD similaires méthodes. (En effet, la flexibilité géométrique les rend souvent plus efficaces.)

— Jed Brown
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Excellente réponse Jed. Il y a une procédure pas à pas très détaillée sur la façon de traiter les BC irréguliers dans un problème de fluides trouvé dans ma thèse p38-46. Franchement, c'est une douleur A * # majeure de le faire dans les formulations FD. L'idée importante à prendre est que les BC incurvés peuvent être approximés par un grand nombre de droites infinitésimales.

— meawoppl

J'ai travaillé sur le fdm de haute précision au cours des n dernières années. et j'ai utilisé l'équation de l'électrostatique -2 dim laplace comme exemple pour développer explicitement les algorithmes de haute précision. jusqu'à il y a environ 4 ans, les problèmes étaient construits avec des lignes horizontales ou verticales points de discontinuité potentielle. si vous google mon nom et fdm haute précision, vous devriez trouver les références. mais ce n'est pas votre question. votre question est fdm et limites incurvées. il y a environ un an, j'ai présenté une solution d'ordre 8 à Hong Kong (voir Une méthode de différence finie pour l'électrostatique cylindrique symétrique ayant des limites curvilignes) qui a créé des algorithmes d'ordre 8 pour les points intérieurs proches de la frontière et ceux-ci nécessiteraient bien sûr des points de l'autre côté de la frontière. les points de l'autre côté de la frontière y ont été mis en étendant simplement le maillage de l'autre côté. après avoir fait cela, la question était de savoir comment trouver les valeurs de ces points lors du relâchement du maillage. il a été accompli en intégrant de la frontière (potentiel connu) au point en utilisant les algorithmes. il a été raisonnablement réussi et raisonnablement précis ~ <1e-11, MAIS a nécessité 103 algorithmes chacun individuellement conçu et il était quelque peu fragile, des géométries instables ont pu être trouvées. pour remédier à ce qui précède, une solution a été trouvée (ordre 8 et inférieur) en utilisant (un!) algorithme minimal et la solution présente une robustesse considérable. il a été soumis mais serait disponible en préimpression en m'envoyant un e-mail. Je crois que cette technique serait extensible à des pde indépendants du temps (linéaire requis) autres que laplace et à des dimensions supérieures à 2. Je n'ai pas considéré le problème dépendant du temps mais la technique étant une technique de série de puissance devrait être adaptable et applicable. David

— David
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Si vous pouviez soumettre votre article à un serveur de préimpression (comme arXiv, par exemple), puis le lier ici, cela améliorerait votre réponse. D'une manière générale, les réponses ne doivent pas contenir d'adresses e-mail. Je vous encourage également à rendre votre réponse plus concise.

— Geoff Oxberry