Violation de la limite de Hamming quantique

La limite de Hamming quantique pour un code de correction d'erreur quantique non dégénéré est définie comme suit:$[[N,k,d]]$

$$\begin{equation} 2^{N-k}\geq\sum_{n=0}^{\lfloor d/2\rfloor}3^n\begin{pmatrix}N \\ n\end{pmatrix}. \end{equation}$$ Cependant, aucune preuve n'indique que les codes dégénérés doivent obéir à une telle limite. Je me demande s'il existe un exemple de code dégénéré violant la limite de Hamming quantique, ou s'il y a eu des progrès dans la preuve de limites similaires pour les codes dégénérés.

Vous pourriez être intéressé par les réponses à cette question . Un exemple d'un code dégénéré battant la limite de Hamming quantique est ici . J'ai également un exemple numérique d'une petite violation dans mon propre travail, ici . Dans la figure deux, vous verrez une section agrandie. Essentiellement, la ligne noire est la limite quantique de Hamming (qui peut ne pas être entièrement évidente d'après ce qui est écrit!), Et la ligne grise est une approximation de ce qui peut être réalisé avec quelque chose lié au code Toric. Il y aura aussi d'autres exemples!

Il semble y avoir un certain nombre de résultats sur les classes de codes dégénérés qui ne violent pas la limite de Hamming quantique (par exemple ici et ici ). Je ne les ai pas lus, alors je ne sais pas à quel point ils sont utiles, mais les résumés suggèrent qu'ils fournissent un joli contrepoint, véhiculant la rareté de bons codes dégénérés.