Quelle est l'extension minimale de FO qui capture la classe des langues régulières?

Contexte: relations entre logique et automates

Le théorème de Büchi affirme que la logique monadique du second ordre sur les chaînes (MSO) capture la classe des langages réguliers. La preuve montre en fait que MSO existentiel ( exist ou EMSO ) sur les chaînes est suffisant pour capturer des langues régulières. Cela peut être un peu surprenant, car, sur les structures générales, MSO est strictement plus expressif que . $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

Ma question (originale): une logique minimale pour les langues régulières?

Existe-t-il une logique qui, sur les structures générales, est strictement moins expressive que , mais qui capture toujours la classe des langages réguliers lorsqu'elle est considérée sur des chaînes? $\exists\text{MSO}$

En particulier, je voudrais savoir quel fragment des langues régulières est capturé par FO sur des chaînes lorsqu'il est étendu avec un opérateur de point le moins fixe (FO + LFP). Cela semble être un candidat naturel pour ce que je recherche (s'il n'est pas ). $\exists\text{MSO}$

Une première réponse

Selon la réponse de @ makoto-kanazawa , FO (LFP) et FO (TC) capturent plus que des langues régulières, où TC est un opérateur de fermeture transitive de relations binaires. Il reste à voir si TC peut être remplacé par un autre opérateur ou un ensemble d'opérateurs de telle manière que l'extension capture exactement la classe des langages réguliers, et pas d'autres.

La logique du premier ordre seule, comme nous le savons, ne suffit pas, car elle capture les langues sans étoiles, une sous-classe appropriée des langues régulières. Comme exemple classique, la langue Parity ne peut pas être exprimé en utilisant une phrase FO. $\;\;=(aa)^*$

Question mise à jour

Voici un nouveau libellé de ma question, qui reste sans réponse.

Quelle est l' extension minimale de la logique du premier ordre telle que FO + cette extension, lorsqu'elle est prise en charge par des chaînes, capture exactement la classe des langages réguliers?

Ici, une extension est minimale si elle est la moins expressive (lorsqu'elle est reprise par des structures générales) parmi toutes les extensions qui capturent la classe des langages réguliers (lorsqu'elle est reprise par des chaînes).

— Janoma
source

Si je ne me trompe pas,

-calcul est en effet équivalent à MSO sur des chaînes.

μ

$\mu$

— Sylvain

@Sylvain, une référence? Je ne connais rien au

-calcul.

μ

$\mu$

— Janoma

Il semble être prouvé dans dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 pour l'arbre infini et dans dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 pour l'équivalence avec le fragment invariant de bisimulation de MSO sur des structures arbitraires.

— Sylvain

Je regarde le deuxième article, bien que je crains que de nombreux concepts soient nouveaux pour moi. En particulier, je ne connaissais pas les systèmes de transition bisimulation-invariants. Il semble que les DFA soient des cas particuliers d'un système de transition, mais je ne sais pas s'ils sont invariants par bisimulation. S'ils le sont, cela répondrait à une partie de ma question (il pourrait y avoir encore une autre logique moins expressive pour les langues régulières); s'ils ne le sont pas, je pense que rien ne peut être dit, car il pourrait toujours y avoir une équivalence lorsque l'on considère uniquement les chaînes.

— Janoma

Deux mots finis , considérés comme des systèmes de transition, sont bisimilaires s'ils sont isomorphes. (Dans les notations du deuxième article, un mot

dans

avec

peut être vu comme un système de transition

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— Sylvain

Réponses:

FO (LFP) capture PTIME sur les structures ordonnées et les chaînes sont des structures ordonnées. Ainsi, les langues définissables par FO (LFP) incluent toutes les langues régulières et bien plus encore. http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

Le manuel d'Ebbinghaus et Flum contient un exercice qui demande de montrer que FO (TC ^ 1) (logique du premier ordre étendue avec des fermetures transitives de relations binaires) est équivalent à MSO sur les chaînes. Dans le même exercice, est utilisé comme exemple pour montrer que FO (TC ^ 2) est plus expressif que MSO sur les cordes. Toutes les formules FO (TC) sont clairement équivalentes aux formules FO (LFP). $\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— Makoto Kanazawa
source

Excellent. Je ne sais pas ce que vous entendez par TC ^ 1 et TC ^ 2, est-ce une faute de frappe? Pour autant que je sache, dans le livre que vous mentionnez, la notation utilisée est FO (TC) pour l'extension de FO avec fermeture transitive et FO (DTC) pour l'extension de FO avec fermeture transitive déterministe , qui est définie différemment. Je n'ai cependant pas trouvé l'exercice que vous mentionnez. Reste à voir s'il existe un opérateur moins expressif que TC qui permet encore de capturer des langages réguliers. Je mettrai à jour ma question en conséquence.

— Janoma

Cette réponse est un peu tardive, mais on sait que l'on peut obtenir toutes et seulement les langues régulières en attachant un quantificateur de groupe généralisé pour chaque groupe fini (ou de manière équivalente pour chaque groupe simple fini). Par exemple, voir «Regular Languages Definable by Lindstrom Quantifiers» de Zoltan Esiky et Kim G. Larsen, à http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf .

De plus, ceci est optimal dans le sens où un langage régulier ne sera définissable que si les quantificateurs pour chaque groupe divisant son monoïde syntaxique sont disponibles.

— Ben Standeven
source

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J'ai trouvé d'autres références qui pourraient vous intéresser.

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— Makoto Kanazawa
source