Limites de compromis pour le comptage de demi-espace

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Quelle est la meilleure limite actuelle pour effectuer des requêtes de comptage de demi-espace sur un ensemble de points dimensionnels, exprimée sous la forme d'un compromis temps / espace. Selon l'article fondamental de Matousek de 1993 (Théorème 6.2, Recherche de plage avec des coupes hiérarchiques efficaces), nous pouvons effectuer un comptage de plage pour les requêtes qui sont l'intersection de demi-espaces, pour , en utilisant une structure de données de taille , pour , dans $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ temps. Pourc'esttemps. Cependant, l'enquête d'Agarwal sur la recherche par distance (tableau 36.3.2) affirme que la limite est. Quelle est la déclaration correcte de la borne? Sinon, qu'est-ce que je comprends mal? Enfin, existe-t-il un terme logarithmique caché lorsque? $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ $m=n^d$

reference-request ds.data-structures cg.comp-geom

— pkn
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La limite de temps plus forte de Matoušek est correcte.

La preuve du théorème 6.1 ( dans la version journal ) utilise une astuce d'indirection qui réduit l'espace requis pour le temps de requête logarithmique de à . Intuitivement, l'astuce consiste à regrouper les points en sous-ensembles de taille polylogarithmique, à créer une structure de données d'espace linéaire pour chaque sous-ensemble, puis à créer une structure de temps de requête logarithmique standard sur les sous-ensembles. Brancher l'espace amélioré lié à la machinerie à plusieurs niveaux / compromis de Matoušek - décrit dans une généralité sanglante dans la version plus longue de l'enquête d'Agarwal $O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$ - donne à Matoušek la forme du compromis temps-espace. (En fait, l'astuce d'indirection n'est qu'une application très prudente du mécanisme de compromis standard.)

— Jeffε
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Juste pour être explicite: le théorème 6.2 de l'article de Matousek affirme que le comptage dans la moitié de l'espace peut se faire dans un espace

,

temps. Lorsque

, c'est

fois ... il n'y a pas de facteur de log additif non déclaré? Je pose la question uniquement parce que dans l'enquête, le théorème 7 et le corollaire 8 ont un additif

qui n'est pas présent dans l'énoncé de Matousek sur le théorème.

O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— pkn

Ah, je vois. Oui, il y a un bug; la borne supérieure

dans l'énoncé du théorème est trop lâche. La preuve nécessite

; sinon, le paramètre entier

serait inférieur à

. L'ajout du terme logairthmic à l'heure de la requête résout également le problème.

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

— Jeffε

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Il y a une brève discussion des résultats de la recherche dans la moitié de l'espace juste au-dessus du tableau 36.3.2 dans le sondage d'Agarwal et un autre dans la section 4.3 de ce sondage . Le premier ne semble pas donner beaucoup de détails au-delà "Un compromis espace / requête-temps pour la recherche de plage simplex peut être atteint en combinant les structures de données de taille linéaire et logarithmique de requête-temps", mais le dernier semble fournir un peu plus de détails sur le compromis espace / requête-temps. Je suggère de regarder la section 4.3, le théorème 7, le corollaire 8 et leurs preuves. Je ne les ai pas lus assez en détail pour savoir si cela répond pleinement à votre question, mais c'est au moins un bon point de départ.

— Joe
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