Des accords parfaits dans un échiquier?

Considérez le problème de trouver le nombre maximum de chevaliers qui peuvent être placés sur un échiquier sans que deux d'entre eux ne s'attaquent. La réponse est 32: il n'est pas trop difficile de trouver une correspondance parfaite (le graphique induit par les mouvements de chevalier est bipartite, et il y a une correspondance parfaite pour une planche 4 × 4), ce qui est évidemment une couverture de bord minimale. Il n'est pas non plus difficile de prouver que la réponse est $\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$pour unéchiquier$m \times n$chaque fois que$m,n \geq 3$: il suffit d'afficher les correspondances pour$3 \leq m,n \leq 6$et de faire un peu de jeu de jambes à induction.

D'un autre côté, si l'échiquier était toroïdal et $m, n$ étaient pairs, la preuve ne nécessiterait même pas de montrer une correspondance pour les petites planches: la carte $(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$ n'a que cycles de longueur égale donc il doit y avoir une correspondance parfaite.

Y a-t-il un équivalent pour les échiquiers rectangulaires , c'est-à-dire qu'il existe un moyen plus simple de montrer que pour un suffisamment grand , il y a toujours une parfaite correspondance de l'échiquier? Pour les grandes planches, la carte rectangulaire et la carte toroïdale sont presque équivalentes dans le sens où la fraction des bords manquants va à zéro, mais je ne connais aucun résultat théorique qui garantirait une correspondance parfaite dans ce cas.$m, n$

Et si, au lieu de sauter dans l'une ou l'autre direction, un chevalier sautait ( 2 , 3 ) carrés dans l'une ou l'autre direction? Ou, d'ailleurs, ( p , q ) carrés, avec p + q impair et p , q coprime? S'il est un moyen simple , de prouver que la réponse est ⌈ m $(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$pourm,n(disonsm,n≥C(p,q))suffisamment grand, à quoi ressembleC(p,q)?$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

La réponse n'est PAS pour tout grandm,nsi par exemplep=6etq=3. Pourquoi? Notez qu'en raison des restes$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$ maintenant le graphique est l'union (vertex) disjointe de trois graphes bipartis et de chacun nous pouvons sélectionner la plus grande moitié. Par exemple, si m = n = 100 , alors nous pouvons placer (au moins) 5002 chevaliers. (C'est parce que x + $\mod 3$$m=n=100$ a six classes qui sont en trois paires, les différences entre les cardinalités des paires sont 1 , 1 , 2. )$x+y \mod 6$$1,1,2$

Je ne sais pas ce qui se passe si on ajoute la condition que et q sont des nombres premiers relatifs. (Notez que mis à part le diviseur 2, cela équivaut à p + q et p - q étant des nombres premiers relatifs, en fait c'est la condition dont nous avons besoin et qui montre également que p + q étant impair est nécessaire.)$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$