Corps convexe avec norme l2 minimale attendue

Considérons un corps convexe centré à l'origine et symétrique (ie si alors ). Je souhaite trouver un corps convexe différent tel que et la mesure suivante soit minimisée: $K$ $x\in K$ $-x\in K$ $L$ $K\subseteq L$

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , où est un point choisi uniformément au hasard parmi L. $x$

Je suis d'accord avec l'approximation à facteur constant de la mesure.

Quelques notes - La première supposition intuitive que lui-même est la réponse est fausse. Par exemple, considérons comme un cylindre mince de très grande dimension. On peut alors obtenir tel que en laissant avoir plus de volume près de l'origine. $K$ $K$ $L$ $f(L)<f(K)$ $L$

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— Ashwinkumar BV
source

Pour le rien qui en vaut la peine, le problème semble difficile. Même en 3D, il n'est pas évident de savoir comment le résoudre.

— Sariel Har-Peled

Est-il évident de savoir comment le faire de manière optimale en 2D? Bien sûr, en 2D, une approximation à facteur constant est sans intérêt.

— Ashwinkumar BV

Ce n'est pas évident pour moi. L'approximation de facteur constant est évidente dans n'importe quelle dimension en approximant la forme par un ellipsoïde www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf. La constante dépendrait de la dimension.

— Sariel Har-Peled

Je suis plus intéressé par l'approximation des facteurs constants où la constante ne dépend pas de la dimension.

— Ashwinkumar BV

Naturellement. Mais permettez-moi de le reprendre - même le cas de l'ellipsoïde n'est pas évident. Si vous voulez attaquer ce problème, ce serait la première version à enquêter. Intuitivement, vous devez décider quelles dimensions ignorer et quelles dimensions développer. Il semble que la solution naturelle soit la coque convexe de l'union de l'ellipsoïde avec un autre ellipsoïde, où les axes du nouvel ellipsoïde sont soit égaux à un paramètre r, soit égaux à l'autre ellipsoïde.

— Sariel Har-Peled

Réponses:

Si nous limitons et à la fois des ellipsoïdes, votre problème peut être résolu avec une précision quelconque avec un SDP. Je sais que ce n'est pas ce que vous avez demandé à l'origine, mais il semble que nous n'ayons pas de solution même pour ce cas restreint, et cela peut peut-être aider en général. $K$ $L$

Alors disons que est l'ellipsoïde d'entrée et nous cherchons à trouver un optimal renfermant ellipsoïde . Il existe une carte linéaire st et une carte st , où est la balle unitaire. Alors . Aussi , où est le corps polaire d' . Idéalement, et . Il s'ensuit que $E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ $J^\circ \subseteq E^\circ$ (et donc ) si et seulement si est une matrice semi-définie positive. $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

Donc, le SDP est défini par: étant donné une matrice PSD symétrique , trouver une matrice PSD symétrique st est PSD et est minimisé. peut être trouvé en résolvant le SDP et un SVD donnera les axes et axes de longueurs . $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— Sasho Nikolov
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(Comme mentionné dans les commentaires, l'approche suivante ne fonctionne pas. L'objet obtenu n'est pas convexe. Il caractérise cependant un objet "en forme d'étoile" avec la distance minimale attendue.)

Je pense que l'objet optimal serait une union de et d'une boule centrée à l'origine. Voici mes pensées. Par votre définition de , où est la distance entre l'origine et la surface de dans une direction particulière. J'ai utilisé au lieu de =, car j'ai laissé tomber certaines constantes. Maintenant, nous voulons minimiser sous les contraintes $K$ $f(L)$

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$ dans n'importe quelle direction. Notez que si dans une certaine direction est plus petit que , alors nous pouvons le rendre légèrement plus grand, disons l'augmenter de , pour faire plus petit. En effet, nous l'énumérateur de , moins d'un facteur de l'augmentation du dénominateur. Par conséquent, nous pouvons penser à "déformer" progressivement (en augmentant légèrement à plusieurs reprises l'objet et en mettant à jour ) pour réduire sa valeur . Soit l'objet final convexe. Ensuite, tout point sur

r_{K}

$r_K$

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$ est à la distance de l'origine, c'est-à-dire que est l'union de et d'une boule de rayon .

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

En effet, considérons un autre objet convexe tel que . Puis , car sinon nous pouvons agrandir la partie de à intérieur de pour rendre plus petit. En revanche, , car sinon, par la même idée, on peut réduire la partie de dehors de pour rendre plus petit. Il existe donc une solution optimale unique. $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ $g(K')$

— user7852
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Peut-être que je manque quelque chose, mais pourquoi l'objet généré de cette façon est-il convexe?

— mjqxxxx

@mjqxxxx Vous avez raison. Comment ai-je

— pu

Qu'en est-il de l'idée suivante: il est bien connu qu'un objet convexe peut être approximé par un ellipsoïde, c'est-à-dire qu'il existe un ellipsoïde tel que . Alors rapproche de avec un rapport approximatif . Pour tout contenant , . Donc, si nous pouvons trouver l'ellipsoïde optimal contenant , alors . Je ne sais pas comment calculer . Mais je suppose que ses axes s'alignent avec les axes de , et toutes les valeurs propres de

E_{K}

$E_K$

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$ dessous d'un certain seuil sont élevés à ce seuil.

— user7852

Je conviens que si L n'est pas limité à un corps convexe, c'est l'union de K et d'une balle.

— Ashwinkumar BV le

L'idée d'utiliser l'ellipsoïde ne vous donnera pas un facteur constant. Il peut donner au mieux une approximation . Ma conjecture est que la coque convexe de avec une boule de rayon approprié est une approximation de facteur constant. Je ne sais pas comment prouver ou réfuter la conjecture.

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

— Ashwinkumar BV le

La solution suivante est basée sur cette hypothèse / conjecture [à prouver]:

Conjecture : L'attente d'une fonction convexe sur est plus petite que la plus grande entre l'attente sur et l'attente sur . $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[Nous aurons besoin de ce qui précède uniquement pour convexe, mais cela pourrait être vrai en général] $K,K'$

Prenez maintenant n'importe quel ensemble et appliquez-lui une rotation centrée sur l'origine, obtenant . Vous allez avoir , car la rotation laisse la longueur des éléments de invariante. Si j'ai raison sur la conjecture, . Puisque pour tout optimal, vous pouvez considérer , où indique l'union sur toutes les rotations, et avoir , il semblerait que le optimal puisse être choisi pour être la plus petite sphère contenant $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$ .

— Marco
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Il suffirait de prouver que pour l'attente d'une fonction convexe. Cela semble facile.

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$

— Marco

Je ne suis pas tout à fait sûr d’obtenir votre réponse. Mais il n'est certainement pas vrai que L peut être choisi pour être la plus petite sphère contenant K. Considérons un long cylindre mince en dimensions de longueur . Alors toute sphère contenant devrait avoir . Mais si vous construisez où U est une sphère ou un rayon à peu près vous obtenez peu près . (où sont des constantes)

d

$d$

t

$t$

S

$S$

K

$K$

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$

c_{1} t / d

$c_1 t/d$

f (L)

$f(L)$

c_{2} t / d

$c_2 t/d$

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$

— Ashwinkumar BV