Réduire les questions de seuil aux questions de finitude

Il est généralement plus simple de raisonner sur le calcul où la limitation est la finitude du calcul plutôt qu'un seuil comme "calculable en temps polynomial".

Dans la théorie des langages formels par exemple, plutôt d'utiliser le $\exists n. x^{n+1} = x^n$ pour caractériser le monoïde apériodique, il est plus facile d'utiliser des mots profins pour que $x^{\omega+1} = x^{\omega}$ .

Dans la théorie de la complexité, la seule technique que je connaisse qui soit liée à cela est l' astuce de remplissage, par exemple reliant le problème de P vs NP à EXPTIME vs NEXPTIME. Mais l'équivalent naturel infini des questions de complexité serait celui de la calculabilité ».

Y a-t-il des résultats qui lient la complexité aux questions de calculabilité en utilisant un codage tel que le seuil de ressource de la théorie de la complexité devient une question de finitude du calcul dans la théorie de calculabilité?

Sipser a prouvé qu'aucune parité infinie ne peut être calculée par un circuit (infini) de profondeur constante, que vous pouvez voir comme un échauffement pour le résultat que PARITY n'est pas dans .$AC^0$

Il y a aussi des résultats et des tentatives de preuves de bornes inférieures en complexité preuve à l' aide de modèles non standard (certains résultats de Ajtai et Krajicek. Voir esp. Krajiceks' « Obliger des variables aléatoires et la preuve complexité » disponible de Cambridge Press, mais aussi un projet disponible en ligne ). L'idée de base est de construire un modèle arithmétique non standard dans lequel une affirmation est fausse dans le modèle (plutôt que "vrai, mais sans preuves courtes"), puis, à partir des propriétés du modèle, déduire qu'une séquence correspondante de finis Les instructions n'ont pas de preuves de taille polynomiale dans certains systèmes de preuve.

Je ne suis pas sûr, mais j'ai l'impression que souvent ces résultats «cachent les asymptotiques sous le capot» de sorte que ce n'est pas tant une réduction du seuil à la finitude que c'est un nouveau langage mathématique dans lequel «faux» dans le la nouvelle langue correspond à «sans preuves courtes» dans l'ancienne langue. Cela ne veut pas dire que le nouveau langage ne fournit pas un nouveau point de vue utile, mais je ne suis pas sûr que ce soit ce que vous recherchez.

Les domaines de la complexité descriptive et de la complexité implicite pourraient être considérés comme adoptant ce type d'approche. Ils transforment tous deux une contrainte de ressource (comme ou ) en expressibilité du problème dans un formalisme logique (pour la complexité descriptive) ou dans un langage de programmation spécifique (pour la complexité implicite).$P$$NP$

Elle n'est donc pas en soi liée au calcul infini, mais plutôt à l'expressibilité du problème dans un modèle donné. Cependant, il est proche dans le sens où il transforme un problème quantitatif en un problème qualitatif.