Algorithmes d'approximation pour métrique TSP

Il est connu que la PST métrique peut être approximée dans un et ne peut pas être mieux estimée que $1.5$ en temps polynomial. Est-il connu quoi que ce soit sur la recherche de solutions d'approximation en temps exponentiel (par exemple, moins de2npas avec seulement un espace polynomial)? Par exemple, dans quel temps et dans quel espace pouvons-nous trouver un circuit dont la distance est au pluségaleà1,1×OPT?$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

J'ai étudié le problème et j'ai trouvé les algorithmes les plus connus pour TSP.

$n$ est le nombre de sommets,$M$ est le poids maximal de l'arête. Toutes les bornes sont attribuées à un facteur polynomial de la taille de l'entrée ($poly(n, \log M)$ ). Nous désignons TSP asymétrique par ATSP.

1. Algorithmes Exacts pour TSP

1.1. ATSP général

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$heure et$exp$-space (Björklund).

$2^n$ temps et$2^n$ espace (Bellman;Held, Karp).

$4^n n^{\log n}$ fois et$poly$ -space (Gurevich, Chéla;Björklund, Husfeldt).

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ temps et$2^t$ espace pour$t=n,n/2,n/4,\ldots$ (Koivisto, Parviainen).

$O^*(T^n)$ temps et$O^*(S^n)$ espace pour tout$\sqrt2<S<2$avec$TS<4$(Koivisto, Parviainen).

$2^n\times M$ temps et espacemultiple(Lokshtanov, Nederlof).

$2^n\times M$ temps et espace$M$ (Kohn, Gottlieb, Kohn;Karp;Bax, Franklin).

$2^n$

1.2. Cas spéciaux de TSP

$1.657^n\times M$

$(2-\epsilon)^n$$\epsilon$

$(2-\epsilon)^n$$poly$$\epsilon$

$1.251^n$$poly$

$1.890^n$$poly$$4$

$1.733^n$$4$

$1.657^n$$poly$

$(2-\epsilon)^n$$d^n$$d$

2. Algorithmes d'approximation pour TSP

2.1. TSP général

Ne peut être approché dans aucune fonction calculable en temps polynomial sauf si P = NP ( Sahni, Gonzalez ).

2.2. TSP métrique

$3 \over 2$

$123\over 122$

2.3. TSP graphique

$7\over5$

2.4. (1,2) -TSP

MAX-SNP dur ( Papadimitriou, Yannakakis ).

$8 \over 7$

2.5. TSP dans les métriques avec dimension bornée

PTAS pour TSP dans un espace euclidien de dimension fixe ( Arora ; Mitchell ).

$\log{n}$

PTAS pour TSP en métriques avec dimension de doublage limitée ( Bartal, Gottlieb, Krauthgamer ).

2.6 ATSP avec inégalité de triangle dirigée

$O(1)$

$75\over 74$

2.7 TSP dans les graphiques avec les mineurs interdits

PTAS à temps linéaire ( Klein ) pour TSP dans les graphes planaires.

PTAS pour les graphes sans mineur ( Demaine, Hajiaghayi, Kawarabayashi ).

$22\frac{1}{2}$

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$$g$

2.8. MAX-TSP

$7\over9$

$7\over8$

$3\over4$

$35\over44$

2.9 Approximations de temps exponentiel

$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

Je serais reconnaissant pour tout ajout et suggestion.

$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

Nicolas Boria, Nicolas Bougeois, Bruno Escoffier, Vangelis Th. Paschos: schémas d'approximation exponentielle pour certains problèmes de graphes. Disponible en ligne .

$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(du moins dans la gamme des facteurs constants) constatent des améliorations du rapport d’approximation même lorsque le temps sous-exponentiel est donné. Il existe plusieurs problèmes pour lesquels le meilleur résultat de dureté connu consiste en une réduction inefficace du SAT, c'est-à-dire que le résultat de la dureté est sous une hypothèse plus faible, telle que NP non contenu dans un temps quasi-polynomial. Dans de tels cas, on peut obtenir une meilleure approximation en temps sub-exponentiel. Le seul que je connaisse est le problème du groupe Steiner. Un résultat récent et célèbre est celui d'Arora-Barak-Steurer sur un algorithme sous-exponentiel-temporel pour des jeux uniques. inefficace, c’est-à-dire que la taille de l’instance de UGC obtenue à partir de la formule SAT doit croître avec les paramètres d’une certaine manière.

La meilleure tsp pour les graphes de genre liés pondérés est http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/ .