Quelle est la classe de complexité des sous-programmes quantiques qui prennent des états quantiques arbitraires en entrée?

La classe de complexité BQP correspond à des sous-programmes quantiques polynomiaux temporels prenant des entrées classiques et crachant une sortie classique probabiliste. Le conseil quantique le modifie pour inclure des copies de certains états de conseil quantique prédéterminés mais avec des entrées classiques comme d'habitude. Quelle est la classe de complexité des sous-programmes quantiques polynomiaux temporels prenant des états quantiques arbitraires en entrée, avec une seule copie en raison de l'absence de clonage, et crachant des états quantiques en sortie?

Je pense que ce que vous voulez savoir, ce sont des analogues quantiques de classes de problèmes de fonction. (Merci à Peter Shor d'avoir signalé cette description concise dans un commentaire.)

Un processus abstrait qui prend un état quantique de taille fixe comme entrée et produit un état quantique de taille fixe comme sortie est appelé un canal quantique . Dans votre situation, nous ne voulons pas fixer la taille d'entrée ou la taille de sortie, et donc nous considérons naturellement une famille de canaux quantiques comme l'analogue quantique des fonctions des chaînes classiques aux chaînes classiques.

Il est clairement possible de définir la classe de familles de canaux quantiques qui peuvent être implémentées / approximées par des familles de circuits quantiques efficaces (avec des notions appropriées d'efficacité, d'uniformité et d'approximation). Je ne sais pas si cette classe a un nom standard (mais voir le commentaire de Peter Shor pour une suggestion).

Dans ma spéculation, les classes de canaux quantiques ne sont pas souvent étudiées car l'une des raisons de considérer les classes de complexité est de comparer les puissances de différents modèles de calcul, et les classes de canaux quantiques ne peuvent pas être utilisées pour comparer des modèles de calcul classiques et quantiques. Cependant, il est parfaitement bien de définir et de parler de ces classes si quelque chose d'intéressant peut être prouvé à leur sujet.

Vous pourriez être intéressé par la notion d' oracle quantique introduite par Aaronson et Kuperberg dans arXiv: quant-ph / 0604056 . Citant leur article:

Tout comme un oracle classique modélise un sous-programme auquel un algorithme a accès en boîte noire, un oracle quantique modélise un sous-programme quantique, qui peut prendre une entrée quantique et produire une sortie quantique.

Cela ne répond pas directement à votre question sur la définition d'une classe de complexité qui représente le modèle que vous décrivez. Pourtant, la notion d'oracle quantique est pertinente dans la théorie de la complexité: dans leur article, Aaronson et Kuperberg utilisent un oracle quantique pour donner une séparation entre QMA et QCMA .

Je pense qu'une classe de complexité pour les problèmes de décision , en prenant des états quantiques en entrée, aura probablement une définition fragile. Pour les problèmes de promesse, soit la définition sera sensible aux choix numériques, soit elle résoudra essentiellement les problèmes de décision / promesse classiques encodés dans une base décodable efficace des états quantiques.

$\Phi_n: \mathrm L(\mathcal H_2^{\otimes n}) \to \mathrm L(\mathcal H_2)$des états -qubit aux états à qubit unique. Bien sûr, un circuit quantique est un canal parfaitement bon; si nous voulons parler de l'exécution de canaux spécifiques qui sont limités par le calcul, nous pouvons aussi bien parler de familles de circuits quantiques uniformes (ou d'ailleurs, de toute façon uniforme de mettre en œuvre une carte CPTP). Pour faire bonne mesure, le circuit devrait se terminer par une mesure de base standard, si nous voulons conserver la sémantique de décider quelque chose avec une probabilité limitée.

$\mathcal L$$\rho'$$\rho \in \mathcal L$$\rho$$\rho'$$\mathcal L$

$\mathcal L$$\mathcal L$(1), c'est une probabilité qui se rapproche de la certitude à mesure que la taille d'entrée augmente - et de même, la probabilité de rejet de tout état que la routine de décision est capable de rejeter devrait également converger vers zéro.

Les problèmes de promesse quantique qu'un circuit QBQP (pour des entrées de taille n ) serait capable de distinguer seraient alors

• $\mathcal H_2^{\otimes n}$
• Pour AUCUN cas, les mélanges d'états purs qui sont orthogonaux à ce sous-espace (ou au moins, tous les états orthocomplémentaires permis par la promesse).

$\mathcal L$$\mathcal L^\bot$ problème de décision ou de promesse, codé en états quantiques, avec erreur convergeant vers zéro.

Corrigez-moi si je me trompe, mais il me semble que vous êtes intéressé par la classe BQP / qpoly . Définition de Complexity Zoo: "La classe de problèmes pouvant être résolus par une machine BQP qui reçoit un état quantique ψn comme conseil, qui ne dépend que de la longueur d'entrée n."

Si c'est celui-là, dans le site Web, vous pouvez trouver des relations de cette classe avec d'autres classes de complexité. Si ce n'est pas le cas, ce site Web contient également des informations sur ce qui arrive à BQP lorsque vous utilisez différents types de conseils.

Il existe également un travail relativement récent sur la " caractérisation des conseils quantiques " où l'on retrouve la hiérarchie suivante:

Je ne sais pas combien de ces informations sont déjà dans Complexity Zoo. Si l'article vous intéresse, les auteurs en ont également parlé .

Edit Je me demande si par "arbitraire" vous voulez dire un état généré par un processus quantique plus général que "l'évolution unitaire agissant sur des états de base de calcul" comme l'évolution dissipative. Dans ce dernier cas spécifique, vous n'avez pas plus de puissance de calcul que BQP comme indiqué dans cet article .

Voici quelques références sur les langages quantiques, c'est-à-dire les problèmes de décision avec les entrées quantiques. Il y en a probablement beaucoup plus.

1. NP quantique et une hiérarchie quantique - Tomoyuki Yamakami
2. Sur la complexité des langues quantiques -Elham Kashefi, Carolina Moura Alves
3. Un test efficace pour les états des produits, avec des applications aux jeux quantiques de Merlin-Arthur -Aram Harrow, Ashley Montanaro, DOI: 10.1109 / FOCS.2010.66, Résumé: arxiv.org/abs/1001.0017v3