Théorème de la hiérarchie pour les rapports d'approximation?

Comme cela est bien connu, les problèmes d'optimisation NP-hard peuvent avoir de nombreux rapports d'approximation différents, allant de la présence d'un PTAS à la non-approximation dans aucun facteur. Entre les deux, nous avons différentes constantes, , , etc. $O(\log n)$ $poly(n)$

Que sait-on de l'ensemble des ratios possibles? Peut-on prouver une sorte de "hiérarchie d'approximation"? Formellement, pour quelles fonctions et peut-on prouver qu'il existe un problème avec le rapport d'approximation ? $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

Dans le cas où , existe-t-il un problème de rapport d'approximation exactement ? $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Jeremy Hurwitz
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Une preuve d'un tel théorème ressemblerait probablement à wisdom.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html . Étant donné un problème avec la borne d'approximation connue

, nous rendons le problème "plus facile" d'une manière ou d'une autre, en utilisant vraisemblablement une certaine forme de remplissage, pour obtenir un problème avec la borne d'approximation

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— Jeremy Hurwitz

O (\log n)

$O(\log n)$

p o l y (n)

$poly(n)$

@TysonWilliams: Je pense qu'il voulait dire qu'entre PTAS et aucune approximation il y a des constantes, log et poly (n) etc

— Suresh Venkat

α

$\alpha$

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

Quant à votre dernière question à propos de α = O (1), la limite stricte a été montrée pour de nombreux problèmes tels que l'emballage des bacs, la planification de la machine (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html)

— Gopi

Réponses:

$\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

Il y a beaucoup de résultats sur l'ensemble des ratios possibles, à partir de résultats comme celui-ci:

EPTAS FPTAS, sauf si , $P||C_{max} \in$ $\backslash$ $P=NP$

pour définir les problèmes difficiles APX / NPO-PB.

Quelques références:

SUR PTAS: M. Cesati et L. Trevisan. Sur l'efficacité des schémas d'approximation polynomiale du temps, 1997.
Sur NPOPB: V. Kann. Limites inférieures fortes sur l'approximation de certains problèmes de maximisation NPO PB-complete

Mais je suggère que le mieux sera de vérifier le Zoo Complexity car il a beaucoup plus d'informations et de références sur ces exemples, même Wikipedia

$\alpha=O(1)$

— Gopi
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Je pense toujours que le commentaire de Suresh sous la question est suffisant pour montrer que n'importe quel rapport est possible. Si vous n'êtes pas convaincu par cela, vous pouvez regarder les problèmes de satisfaction de contraintes booléennes (CSP), par exemple.

$P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ $P$ $3SAT$ $7/8$ $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

$\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Per Austrin et Johan Håstad, Randomly Supported Independence and Resistance, SIAM Journal on Computing, vol. 40, non. 1, p. 1-27, 2011.

$\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ $\rho(P) = \alpha'$

— MCH
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