Décomposition d'une fonction sous-modulaire

Soit une fonction sous-modulaire sur où et sont disjoints et . Ici et sont sous-modulaires sur et respectivement. $f$ $\Omega=X_1\cup X_2$ $X_1$ $X_2$ $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ $f_1$ $f_2$ $X_1$ $X_2$

Ici, sont inconnus et seul un accès de requête de valeur à est donné. Ensuite, existe-t-il un algorithme de polytime qui trouve . S'il y a plusieurs choix pour un d'eux devrait convenir. $X_1,X_2,f_1,f_2$ $f$ $X_1$ $X_1$

Quelques idées. Si nous pouvons trouver deux éléments tels que les deux appartiennent à ou appartiennent à alors nous pouvons les fusionner et procéder récursivement. Mais il n'est pas clair comment mettre en œuvre une telle étape. $t_1,t_2$ $X_1$ $X_2$

ds.algorithms submodularity

— Ashwinkumar BV
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Voulez-vous dire que

où

sont submodulaires sur

respectivement?

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Chandra Chekuri

Oui, je le pensais bien. Merci d'avoir pointé la faute de frappe, je vais la corriger.

— Ashwinkumar BV

Je ne sais pas si ce que je dis ci-dessous est correct mais voici l'idée. Prenons un élément arbitraire

. Si

alors

n'est pas affecté par le reste des éléments, nous pouvons donc choisir

. Sinon,

soit un sous-ensemble minimal de

inclus dans l'inclusion tel que

e \in Ω

$e \in \Omega$

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$

e

$e$

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$

X

$X$

Ω - e

$\Omega-e$

. Il semblerait alors que

devrait être dans la même partition et donc nous pouvons réduire l'ensemble en un seul élément et récuser s'il est strictement plus petit que

, sinon nous concluons qu'aucune partition souhaitée n'existe.

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$

Ω

$\Omega$

— Chandra Chekuri

Décidé de faire du commentaire une réponse.

— Chandra Chekuri

Prenons un élément arbitraire . Si alors n'est pas affecté par le reste des éléments, nous pouvons donc choisir et . Sinon, soit un sous-ensemble minimal de inclus dans l'inclusion tel que $e \in \Omega$ $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ $e$ $X_1 = \{e\}$ $X_2 = \Omega-\{e\}$ $X$ $\Omega-e$ . Alors devrait être dans la même partition. Si nous concluons qu'il n'y a pas de partition souhaitée, sinon nous réduisons cet ensemble en un seul élément et reconsidérons. $f(e) > f_X(e)$ $X \cup \{e\}$ $X \cup \{e\} = \Omega$

— Chandra Chekuri
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