Circuits arithmétiques monotones

L'état de nos connaissances sur les circuits arithmétiques généraux semble être similaire à l'état de nos connaissances sur les circuits booléens, c'est-à-dire que nous n'avons pas de bonnes limites inférieures. D'un autre côté, nous avons des limites inférieures de taille exponentielle pour les circuits booléens monotones .

Que savons-nous des circuits arithmétiques monotones ? Avons-nous de bonnes limites inférieures similaires pour eux? Sinon, quelle est la différence essentielle qui ne nous permet pas d'obtenir des bornes inférieures similaires pour les circuits arithmétiques monotones?

La question est inspirée des commentaires sur cette question .

Les limites inférieures pour les circuits arithmétiques monotones sont plus faciles car elles interdisent les annulations. D'un autre côté, nous pouvons prouver des limites inférieures exponentielles pour les circuits calculant les fonctions booléennes même si des fonctions monotones à valeur réelle $g:R\times R\to R$ sont autorisées comme portes (voir par exemple la section 9.6 du livre ).

$a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$$(+,\min)$$(+,\max)$. Les portes correspondent alors aux sous-problèmes utilisés par l'algorithme. Ce que Jerrum et Snir (dans l'article de V Vinay) prouvent réellement, c'est que tout algorithme DP pour la correspondance parfaite de poids minimal (ainsi que pour le problème TSP) doit produire de manière exponentielle de nombreux sous-problèmes. Mais le problème de Perfect Mathching n'est pas du "défaut DP" (il ne satisfait pas au principe d'optimalité de Bellman ). La programmation linéaire (pas DP) est beaucoup plus adaptée à ce problème.

Qu'en est-il donc des problèmes d'optimisation qui peuvent être résolus par des algorithmes DP raisonnablement petits - pouvons-nous également leur prouver des limites inférieures? Très intéressant à cet égard est un vieux résultat de Kerr (Théorème 6.1 dans son doctorat ). Cela implique que l'algorithme Floyd-Warshall DP classique pour le problème des chemins les plus courts (APSP) est optimal : sous-problèmes sont nécessaires. Encore plus intéressant, l'argument de Kerr est très simple (beaucoup plus simple que celui utilisé par Jerrum et Snir): il utilise simplement l'axiome de distributivité , et la possibilité de "tuer" les min-gates en mettant un de ses arguments à Il prouve ainsi quea + min ( b , c ) = min ( a , b ) + min ( a , c ) 0 n 3 n × n ( + , min $\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$les portes plus sont nécessaires pour multiplier deux matrices au cours du semi-cercle . Dans Sect. 5.9 du livre d'Aho, Hopcroft et Ullman, il est montré que ce problème est équivalent au problème APSP.$n\times n$$(+,\min)$

Une prochaine question pourrait être: qu'en est-il du problème des chemins les plus courts à source unique (SSSP)? L'algorithme DP de Bellman-Ford pour ce problème (apparemment "plus simple") utilise également des portes . Est-ce optimal? Jusqu'à présent, aucune séparation entre ces deux versions du problème de chemin le plus court n'est connue; voir un article intéressant de Virginia et Ryan Williams dans ce sens. Ainsi, une borne inférieure dans des circuits pour SSSP serait un excellent résultat. La prochaine question pourrait être: qu'en est-il des limites inférieures pour Knapsack? Dans ce projet, les limites inférieures de Knapsack sont prouvées dans un modèle plus faible de circuits où l'utilisation deΩ ( n 3 ) ( + , min ) ( + , max ) $O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-les portes sont restreintes; en annexe la preuve de Kerr est reproduite.

Oui. Nous connaissons de bonnes limites inférieures et nous les connaissons depuis un certain temps maintenant.

Jerrum et Snir ont prouvé une limite inférieure exponentielle sur les circuits arithmétiques monotones pour le permanent en 1980. Valiant a montré qu'une seule porte négative est exponentiellement plus puissante .

Pour en savoir plus sur les circuits arithmétiques (monotones), consultez l' enquête de Shpilka sur les circuits arithmétiques.

Un autre résultat que je connais est d' Arvind, Joglekar et Srinivasan - ils présentent des polynômes explicites calculables par une largeur de taille linéaire - des circuits arithmétiques monotones de largeur mais tout circuit arithmétique monotone de largeur prendrait une taille exponentielle.$2k$$k$

Est-ce que cela compte: les limites inférieures du semi-groupe de Chazelle pour les problèmes fondamentaux de recherche de portée (dans le cadre hors ligne). Toutes les limites inférieures sont presque optimales (jusqu'aux termes logarithmiques lorsque les limites inférieures sont polynomiales et logarithmiques lorsque la borne inférieure est polylogarithmique).